Математическая энциклопедия - реплика

э н д о м о р ф и з м а Xконечномерного векторного пространства Vнад полем kхарактеристики 0 элемент наименьшей, содержащей X, алгебраич. подалгебры (см. Ли алгебраическая алгебра). Эндоморфизм является Р. эндоморфизма Xтогда и только тогда, когда всякий тензор на V, аннулируемый эндоморфизмом X, аннулируется также и эндоморфизмом X'.

Каждая Р. эндоморфизма Xможет быть представлена в виде многочлена от Xс коэффициентами из поля kс нулевым свободным членом. Полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма X(см. Жордана разложение,2) являются его Р. Подалгебра алгебры Ли тогда и только тогда алгебраична, когда она содержит все Р. любого своего элемента. Эндоморфизм Xпространства Vтогда и только тогда нильпотентен, когда для любой реплики X' эндоморфизма X.

Пусть kалгебраически замкнуто, j автоморфизм поля k, X - полупростой эндоморфизм пространства V, а j (X) - такой эндоморфизм пространства V, что всякий собственный вектор эндоморфизма X, отвечающий собственному значению l, является собственным вектором и для j (X), но отвечающим собственному значению j (l). Эндоморфизм тогда и только тогда является Р. эндоморфизма X, когда для нек-рого автоморфизма j поля k.

Лит.:[1] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [2] Теория aлгебp Ли. Топология групп Ли, пер. с франц., М., 1962; [3] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 2, М., 1958. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985