Математическая энциклопедия - ретракт

т о п о л о г и ч е с к о г о п р о с т р а нс т в а X - подпространство Аэтого пространства, для к-рого существует ретракция X на А. Если пространство X хаусдорфово, то всякий Р. пространства Xзамкнут в X. Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его Р. При переходе от пространства к его Р. сохраняются многие важные свойства. В частности, всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к Р. Поэтому компактность, связность, линейная связность, сепарабельность, ограничение сверху на размерность, паракомпактность, нормальность, локальная компактность, локальная связность сохраняются при переходе к Р. В то же время Р. пространства может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования. Так, одноточечное множество является Р. отрезка, прямой, плоскости и т. д. Если пространство X имеет с в о й с т в о н е п од в и ж н о й т о ч к и, т. е. для каждого непрерывного отображения существует точка такая, что f(x)=x, то и каждый Р. пространства Xобладает свойством неподвижной точки. В частности, n-мерная сфера не является Р. (n+1)-мерного шара евклидова пространства, где п=0,1, ... , так как замкнутый шар обладает свойством неподвижной точки (т е о р е м а Б р а у э р а), а сфера этого свойства не имеет. Подпространство Апространства Xназ. о к р е с т н о с т н ы м Р. этого пространства, если существует в Xоткрытое подпространство, содержащее А, ретрактом к-рого А является. Понятие Р. имеет прямое отношение к вопросу о продолжаемости непрерывных отображений. Так, подпространство Апространства Xявляется его Р. в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства Ав произвольное топологич. пространство Yможно продолжить до непрерывного отображения всего пространства Xв Y.

Метризуемое пространство Xназ. а б с о л ю т н ы м Р. (а б с о л ю т н ы м о к р е с т н о с т н ы м Р.), если оно является Р. (соответственно окрестностным Р.) всякого метризуемого пространства, содержащего Xв качестве замкнутого подпространства. Для того чтобы метризуемое пространство Xбыло абсолютным Р., необходимо, чтобы оно было Р. нек-рого выпуклого подпространства линейного нормированного пространства, и достаточно, чтобы Xбыло Р. выпуклого подпространства локально выпуклого линейного пространства.

Таким образом, все выпуклые подпространства локально выпуклых линейных пространств являются абсолютными Р.; в частности, таковы точка, отрезок, шар, прямая и т. д. Из приведенной характеристики вытекают следующие свойства абсолютных Р. Всякий Р. абсолютного Р. снова есть абсолютный Р. Каждый абсолютный Р. стягиваем по себе и локально стягиваем. Все гомологические, когомологические, гомотопические и когомотопич. группы абсолютного Р. тривиальны. Метризуемое пространство Yявляется абсолютным Р. в том и только в том случае, если, каковы бы ни были метризуемое пространство X, его замкнутое подпространство Аи непрерывное отображение пространства Ав Y, его можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства Xв Y. Абсолютные окрестностные Р. характеризуются как Р. открытых подмножеств выпуклых подпространств линейных нормированных пространств. К их числу относятся все компактные полиэдры. Существенным их свойством является локальная стягиваемость.

Если ретракция пространства Xна его подпространство Агомотопна тождественному отображению пространства Xна себя, то Аназ. д е ф о р м а ц и о н н ы м Р. пространства X. Деформационный Р. пространства гомотопически эквивалентен этому пространству, т. е. имеет с ним один и тот же гомотопич. тип. Обратно, два гомотопически эквивалентных пространства всегда можно вложить в нек-рое третье пространство таким образом, что оба они будут его деформационными Р.

Лит.:[1] Б о р с у к К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985