Математическая энциклопедия - риччи тождество

1) Тождество, выражающее одно из свойств Римана тензора:

Для ковариантного тензора тождество имеет вид

т. е. циклирование по трем первым индексам дает нуль.

2) Тождество, к-рому должны удовлетворять ковариантные производные 2-го порядка относительно метрич. тензора gij риманова пространства Vn, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Если li - тензор 1-й валентности, ковариантная производная 2-го порядка по x^j и по относительно тензора gji, то Р. т. имеет вид

где тензор Римана, определяемый метрич. тензором gij, то есть в метрике пространства Vn (иными словами, альтернированная 2-я абсолютная производная тензорного поля li в метрике gij выражается через тензор Римана и компоненты li).

Для ковариантного тензора 2-й валентности aij Р. т. имеет вид

Вообще, для ковариантного тензора m-й валентности ar1...rm тождество имеет вид

Аналогичные тождества образуются и для ковариантных и смешанных тензоров в Vn. Р. т. применяется, напр., при построении геометрии подпространств в V п в качестве условия интегрируемости основных деривариационных уравнений, из к-рого выводятся уравнения Гаусса и Петерсона Кодацци для подпространств в Vn.

Тождество установлено Г. Риччи (см. [1]).

Лит.:[1] R i с с i G., L е v i-C i v i t а Т., "Math. Ann.", 1901, Bd 54, S. 125-201; [2] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985