Математическая энциклопедия - сепарабельный процесс

случайный процесс, поведение траекторий к-рого по существу определяется их поведением на нек-ром счетном пространстве. Именно, определенный на полном вероятностном пространстве действительный случайный процесс , где Т - подмножество действительной прямой , сепарабелен относительно класса подмножеств , если существует счетное множество (с е п а р а н т а) и множество , такое, что для любого и любого открытого интервала

Наиболее важны понятия сепарабельности относительно класса замкнутых множеств и относительно класса замкнутых интервалов (в последнем случае процесс называется просто с е п а р а б е л ь н ы м). Если процесс сепарабелен, то для любого и любого открытого интервала

Каждое из свойств (1) (4) равносильно сепарабельности. Если t - левая предельная точка множества T, то существует последовательность точек из Ттакая, что

с вероятностью 1 (аналогично для пределов справа). Если Xt - сепарабельный случайный процесс, непрерывный по вероятности, то любое всюду плотное в Тсчетное множество является сепарантой; кроме того, для любого открытого интервала I, и любой последовательности конечконечных подмножеств IT, удовлетворяющих условию

(5)

по вероятности. Сходимость в (5) можно заменить сходимостью с вероятностью 1, если Х t непрерывен с вероятностью 1.

Для всякого случайного процесса , существует на том же вероятностном пространстве сепарабельный относительно класса замкнутых множеств процесс , принимающий значения из расширенной числовой прямой, и такой, что . Понятие сепарабельности и его свойства обобщаются на процессы, у к-рых Ти область значений суть различные общие топологич. пространства. Переход к С. п. позволяет утверждать применимость ряда важных функционалов и множеств, связанных с процессом. Альтернативный подход состоит не в изменении случайных величин, образующих процесс, а в расширении s-алгебры, на к-рой он определен (напр., в случае функционального пространства произведения хаусдорфовых компактов меру с обычной s-алгебры, порожденной цилиндрич. множествами, можно однозначно продолжить на весьма богатую s-алгебру борелевских множеств).

Лит.:[1] Д у б Д ж. Л., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; [4] D о о b T. L., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 53, № 1, p. 15-30; [5] N e l s o n E., "Ann. Math.", 1959, v. 69, № 3, p. 630-43. В.