Математическая энциклопедия - сохоцкого формулы

формулы, найденные впервые Ю. В. Сохоцким [1] и выражающие граничные значения интеграла типа Коши. С более полными доказательствами, но значительно позже С. ф. были получены независимо Й. Племелем [2].

Пусть Г : t=t(s), t(0)=t(l), - замкнутая гладкая жордаиова кривая на плоскости комплексного неременного заданная на Г комплексная плотность интеграла типа Коши, относительно к-рой предполагается, что она удовлетворяет условию Гёльдера

D⁺ область внутри Г , D ^-внешняя область;

интеграл типа Коши. Тогда для любой точки существуют пределы

к-рые выражаются формулами Сохоцкого

или, иначе,

Интеграл вдоль Г в правых частях С. ф. понимается в смысле главного значения по Коши и наз. сингулярным интегралом. Таким образом, принимая при высказанных условиях Ф+(t)(или Ф ^-(t)) в качестве значений интеграла Ф(z) на Г , получают функцию Ф(z), непрерывную в замкнутой области (соответственно в в целом Ф(z) иногда описывают как кусочно аналитич. цию.

Если то Ф ⁺(t)и Ф ^-(t) также непрерывны по Гёльдеру на Г с тем же показателем а если то с любым показателем Для угловых точек t0 (см. рис.) кусочно гладкой кривой Г С. ф. принимают вид

В случае разомкнутой кусочно гладкой кривой Г С. ф. (2) и (3) остаются в силе для внутренних точек дуги Г.

С. ф. играют основную роль при решении граничных задач теории функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [3], [5]), а также при решении различных прикладных задач теории функций (см. [4]).

Естественно возникает вопрос о возможном расширении условий на контур Г и плотность с тем, чтобы С. ф., хотя бы с нек-рыми оговорками, сохраняли силу. Наиболее значительные результаты в этом направлении принадлежат В. В. Голубеву и И. И. Привалову (см. [6], [8]). Напр., пусть Г - спрямляемая жорданова кривая, а плотность по-прежнему непрерывна по Гёльдеру на Г. Тогда С. ф. (2) имеют место почти всюду на Г, причем под Ф ⁺(t0) и Ф ^-(t0) понимаются угловые граничные значения интеграла типа Коши соответственно изнутри и извне Г, но функции Ф ⁺(z) и Ф ^- (z), вообще говоря, уже не непрерывны в замкнутых областях О пространственных аналогах С. ф. см. в [7].

Лит.:[1] Сохоцкий Ю. В., Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды, СПБ, 1873; [2] Р1еmе1j J., лMonatsh. Math, und Phys.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985