Математическая энциклопедия - сохранения области принцип

свойство голоморфных функции в областях комплексной плоскости; множество значений всякой непостоянной голоморфной функции в области также является областью, т. е. открыто и связно. Основным здесь является свойство открытости образа, к-рое следует из Руше теоремы или из аргумента принципа. С. о. п. можно рассматривать как обобщение максимума модуля принципа для голоморфных функций.

С. о. п. справедлив для голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии: множество значений любой непостоянной голоморфной функции на связном комплексном многообразии Xесть область на комплексной плоскости. Он выполняется также для голоморфных отображений комплексных многообразий в римановы поверхности. Однако голоморфные отображения в комплексные многообразия Yразмерности больше 1 в общем не являются открытыми: если f непостоянно, но, скажем, ранг f всюду меньше dim Y, то образ вообще не имеет внутренних точек. Открытость может нарушаться и в случае, когда rank f <dim Yна множествах малой размерности. Напр., при отображении пространства в себя образом будет неоткрытое множество С. о. п. для голоморфных отображений выполняется, если условие непостоянности f заменять более сильными требованиями, одним из самых простых является условие нульмерности множества точек, в к-рых rank f <dim Y.

Лит.:[1] Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1989.

Е. М. Чирка.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985