Математическая энциклопедия - сжатий полугруппа

однопараметрически сильно непрерывная полугруппа T(t),, Т(0)=I, линейных операторов в банаховом пространстве E, для к-рых . Плотно определенный в Еоператор Абудет производящим оператором (г е н е р а т о р о м) С. п. тогда и только тогда, когда выполнено условие Хилле Иосиды

при всех l>0. В других терминах: плотно определенный оператор А - генератор С. п. тогда и только тогда, когда он является максимальным диссипативным оператором.

Детально изучены С. п. в гильбертовом пространстве Н. Частными видами С. п. являются полугруппы изометрий , унитарные полугруппы ( Т*(t)=T^-1(t)), самосопряженные полугруппы ( Т*(t)=T(t)), нормальные полугруппы ( Т*(t)T(t)=Т(t)T*(t)). Вместо генератора Аиногда удобно рассматривать его п р е о б р а з о в а н и е К э л и: B=(A+I)(A-I)^-1 (к о г е н е р а т о р). Оказывается, что полугруппа будет полугруппой изометрий, унитарной, самосопряженной, нормальной полугруппой тогда и только тогда, когда когенератор соответственно будет изометрическим, унитарным, самосопряженным, нормальным оператором.

С. п. наз. в п о л н е н е у н и т а р н о й, если ее сужение на любое инвариантное подпространство не является унитарным. Для вполне неунитарной полугруппы при и любых . Для того чтобы С. п. была вполне неунитарной, достаточно, чтобы она была устойчивой, т. е. чтобы при и .

Для всякой С. п. T(t) существует такое ортогональное разложение на инвариантные относительно Т(t)подпространства, что на Н 1 полугруппа унитарна, а на Н 2 вполне неунитарна.

Если Т(t)есть С. п. в гильбертовом пространстве Н, то существует более широкое гильбертово пространство , содержащее Нкак подпространство, и в нем такая унитарная группа , что Т(t)=PU(t)при , где Р - ортогональный проектор из на Н. Группа U(t)наз. унитарной дилатацией полугруппы T(t). Дилатация определяется однозначно с точностью до изоморфизма, если потребовать, чтобы совпадало с замкнутой линейной оболочкой множества (минимальная дилатация).

Пусть N - гильбертово пространство и гильбертово пространство всех измеримых N-значных функций , с интегрируемым квадратом нормы. В этом пространстве определена унитарная группа двустороннего сдвига (U(t)f)(s)=f(s-t). Аналогично, в пространстве определена полугруппа одностороннего сдвига

при и 0 при

Всякая вполне неунитарная полугруппа изометрий изоморфна одностороннему сдвигу в , при нек-ром вспомогательном пространстве N.

Если Т(t) - вполне неунитарная С. п. и U(t) - ее минимальная унитарная дилатация, то на нек-ром инвариантном подпространстве (а если Т(t)устойчива, то и на всем ) группа изоморфна двустороннему сдвигу. О полугруппах сжатия с нелинейными операторами см. Полугруппа нелинейных операторов. Лит.:.[1] D a v i e s Е., One-parameter semigroups, L.[a.о.], 1980; [2] С е к е ф а л ь в и Н а д ь Б., Ф о ш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970. С. Г. Крейн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985