Математическая энциклопедия - сжатие

алгебры Ли, стягивание алгебры Ли,операция, противоположная деформации алгебры Ли. Пусть конечномерная вещественная алгебра Ли, набор ее структурных констант в фиксированном базисе е 1, . . ., е n и А (t),, кривая в группе невырожденных линейных преобразований пространства такая, что А(1)=Е. Пусть и структурные константы алгебры в базисе . Если при стремятся к нек-рому пределу , то алгебра , определяемая этими константами в исходном базисе, наз. сжатием исходной алгебры . Сжатие также является алгеброй Ли, причем можно получить путем деформации алгебры . Если алгебра Ли группы Ли G, то группу Ли , соответствующую также наз. сжатием группы G.

Хотя эти алгебры, вообще говоря, не изоморфны: напр., если A(t)=tE, то , так что при таком С. предельная алгебра всегда коммутативна. Естественное обобщение этого примера состоит в следующем: пусть подалгебра в дополнительное к подпространство, причем , и A(t)v=v для для . Тогда в пределе становился коммутативным идеалом алгебры , в то время как умножение в и присоединенное действие алгебры на остаются неизменными.

В частности, пусть G группа Лоренца, ее алгебра Ли, подалгебра, соответствующая подгруппе вращений 3-мерного пространства. Тогда описанное С. алгебры дает алгебру Ли группы Галилея (см. Галилея преобразование, Лоренца преобразование). Соответственно алгебра Лоренца является деформацией алгебры Галилея и можно показать, что комплексификация алгебры Галилея других деформаций не имеет; в вещественном случае алгебру Галилея можно получить также С. ортогональной алгебры Ли so(4). Эквивалентный способ получения алгебры Галилея из алгебры Лоренца состоит в том, чтобы определить алгебру Лоренца как алгебру, сохраняющую форму Минковского x²+y²+z² -с ²t², и затем устремить скорость света ск . Пока , возникающие алгебры изоморфны . Аналогично, деформируя алгебру Пуанкаре (неоднородную алгебру Лоренца), можно получить алгебры де Ситтера so (4,1) и so (3,2) движений пространства постоянной кривизны. Соответственно, устремляя кривизну к 0, получают группу Пуанкаре как С. групп де Ситтера.

Связь между этими алгебрами продолжается на представления. Если, как в описанных примерах, существует матрица , то каждое представление Sалгебры порождает представление сжатой алгебры по формуле

для любого Обратная операция (деформация представлений), вообще говоря, невозможна.

Лит.:[1] Б а р у т А., Р о н ч к а Р., Теория представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1, М., 1980; [2] I n о n u Е., W i g n е r Е. P., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1953, v. 39, p. 510-24; [3] S a 1 e t a n E. J., "J. Math. Phys.", 1961, v. 2, p. 1-22. А. К. Толпыго.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985