Математическая энциклопедия - тканей геометрия

раздел дифференциальной геометрии, в к-ром изучаются нек-рые семейства линий и поверхностей т. н. ткани (плоские, пространственные, многомерные).

Плоской р-тканью наз. область плоскости, в к-рой заданы р(обычно семейств достаточно гладких линий со свойствами: 1) через каждую точку области проходит точно по одной линии каждого семейства; 2) линии разных семейств имеют не более одной общей точки. Пример: три семейства прямых, параллельных сторонам равностороннего треугольника, образуют 3-ткань (регулярную, или правильную ткань).

Основным предметом изучения в Т. г. являются свойства, инвариантные при дифференциально топологич. преобразованиях. Ткани наз. эквивалентными, если они (локально или глобально) диффеоморфны. При р=2ткань диффеоморфна ткани, образованной двумя семействами параллельных прямых (такие ткани наз. сетями). При р=3 ткань уже в общем случае недиффеоморфна ни трем семействам параллельных прямых (т. е. не является шестиугольной тканью), ни трем семействам прямых вообще (т. е. не является спрямляемой тканью). Условие шестиугольности ткани в геометрич. форме состоит в выполнении замыкания условия. Условие спрямляемости ткани не может быть записано в обозримом виде; его исследованием занимаются в связи с проблемами номографии.

Пространственные криволинейные ткани образуются рсемействами кривых в пространстве при условии, что через каждую точку области проходит одна кривая каждого семейства. Уже при р=2 такие ткани не все диффеоморфны. Выделяются ткани четырехугольные, линии которых образуют сети на поверхностях однопараметрического семейства .

Пространственные поверхностные ткани образуются рсемействами поверхностей при условии, что через каждую точку проходит по одной поверхности каждого семейства, а три поверхности разных семейств имеют не более одной общей точки. Для таких тканей и их многомерных аналогов также вводится понятие спрямляемости, т. е. диффеоморфности ткани, образованной семействами плоскостей (гиперплоскостей). 4-ткань наз. октаэдрической тканью, если она диффеоморфна ткани, образованной четырьмя семействами плоскостей, параллельных граням правильного октаэдра. 4-ткань наз. шестиугольной, если 3-ткани, высекаемые поверхностями любых трех семейств на поверхностях четвертого,шестиугольные.

Многомерные ткани образованы рсемействами подмногообразий многомерного пространства. Напр., три семейства r-мерных подмногообразий 2r-мерного пространства образуют 3-ткань, если через каждую точку проходит по одному подмногообразию каждого семейства, а многообразия двух разных семейств имеют не более одной общей точки.

Т. г. рассматривает также проективно-дифференциальные аффинно-дифференциальные и др. свойства тканей в связи с геометрией несущего ткань многообразия. Рассматриваются ткани, образованные геодезическими линиями, линиями, связанными с Дарбу тензором, и т. д.

Определение линии третьего семейства линиями двух других (в случае плоской 3-ткани) может рассматриваться как алгебраич. операция квазигруппового типа. В связи с этим возникло понятие абстрактной ткани, или алгебраич. сети (см. Квазигруппа).

Лит.:[1] Бляшке В., Введение в геометрию тканей, пер. с нем., М., 1959; [2] Рыжков В. В., Белоусов В. Д., в сб.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, 1971, М., 1972, с. 159-88; [3] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.

В. В. Рыжков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985