Математическая энциклопедия - ударных волн математическая теория

математическое описание свойств, движения и взаимодействия с окружающей средой поверхностей разрыва параметров среды (ударных волн). В более широком и абстрактном смысле У. в. м. т. описывает свойства поверхностей разрыва решений квазилинейных гиперболических уравнений и систем.. У. в. м. т. возникла в связи с задачами движения газов и сжимаемых жидкостей во 2-й пол. 19 в.; ее основы были заложены в работах С. Ирншоу, Б. Римана, У. Ранкина, П. Гюгоньо (см., напр., [1] [4]).

При идеализации реальных газов и жидкостей рассматривают среды, лишенные диссипативных свойств, в к-рых отсутствуют вязкость и теплопроводность. В процессе движения в таких идеальных средах могут возникать разрывы в распределениях всех параметров течения (плотности, давления, температуры, скорости и др.). Множества точек разрыва параметров течения могут быть весьма сложными. Систематически рассмотрен лишь простейший основной случай, когда эти множества образуют кусочно гладкие поверхности разрыва, состоящие из точек разрыва параметров 1-го рода. В общем случае двумерные поверхности разрыва перемещаются в трехмерном пространстве с течением времени. Ударные волны являются одним из возможных типов поверхностей разрыва.

Появление разрывов существенно осложняет математич. постановку задачи о течении идеальных газов и жидкостей, так как разрывные функции не могут быть решениями дифференциальных уравнений газовой динамики (гидродинамики). Поэтому течения с поверхностями разрыва описываются обобщенными решениями системы квазилинейных газовой динамики уравнений и У. в. м. т. является частью теории обобщенных решений системы интегральных законов сохранения газовой динамики.

Поверхности разрыва. На поверхностях разрыва должны выполняться условия, вытекающие из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. Исключение составляют лишь разрывы в момент начала движения (т. н. начальные разрывы), к-рые могут быть произвольными. Пусть гладкая поверхность разрыва параметров течения газа (жидкости); D - нормальная скорость движения поверхности разрыва. Рассматриваются лишь гомогенные среды, к-рые характеризуются плотностью давлением р(r, t), внутренней энергией единицы массы газа и вектором скорости движения среды и(r, t).

Пустьвточках поверхности где и п - нормальная и тангенциальная (по отношению к составляющие вектора скорости и. Условия непрерывности потоков массы, импульса и энергии на поверхности записываются в виде равенств

где квадратные скобки означают скачок стоящей внутри их величины при переходе с одной стороны поверхности разрыва на другую, т.