Математическая энциклопедия - веиерштрасса эллиптические функции

ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с именами А. Лежандра (A. Legendre), Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi), в основу к-рого были положены эллиптич. функции 2-го порядка, имеющие в параллелограмме периодов два простых полюса, основная В. э. ф. имеет в параллелограмме периодов один полюс 2-го порядка. В теоретич. отношении теория Вейерштрасса более проста, так как исходная в этой теории функция и ее производная служат образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с заданными примитивными периодами.

Пэ-функция( -функция) Вейерштрасса ( знак Вейерштрасса, стилизованная буква "пэ") для заданных примитивных периодов определяется рядом

где и целые числа пробегают все значения, кроме пары Функция есть четная эллиптич. функция порядка 2, имеющая в каждом параллелограмме периодов единственный полюс 2-го порядка с нулевым вычетом. Ее производная есть нечетная эллиптич. функция порядка 3 с теми же примитивными периодами; имеет простые нули в точках, конгруэнтных , . Наиболее важное свойство функции состоит в том, что любая эллиптич. функция с данными примитивными периодами может быть представлена в виде рациональной функции от и , т. е. и являются образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с данными периодами. Среди однопериодических тригонометрич. функций аналогом функции служит .

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

в к-ром модулярные формы.

наз. относительными инвариантами, а величины , , иррациональными инвариантами функции . Абсолютным инвариантом функции наз. всякая рациональная функция от или от , где есть дискриминант. Имеется в виду инвариантность относительно модулярных преобразований (см. Модулярная функция). В приложениях обычно и -действительные; если при этом , то также все действительные. Уравнение (2) показывает, что может быть определена как обращение эллиптического интегралаIрода в нормальной форме Вейерштрасса:

Функция отображает взаимно однозначно и конформно параллелограмм периодов на канонически разрезанную двулистную компактную риманову поверхность Fс точками ветвления рода 1; поверхность F иногда наз. эллиптическим образом.

На главной накрывающей поверхности F указанный интеграл I рода однозначен и является униформизирующей переменной для F.

Эллиптич. интеграл II рода поля эллиптич. функций с данными периодами при этой униформизации переходит в дзета-функцию (z-функцию) Вейерштрасса , определяемую рядом

Функция нечетная мероморфная функция, связанная с соотношением ; она не является периодической и при добавлении периодов преобразуется по закону , где . При этом между имеет место соотношение Лежандра

.

равносильное соотношению между полными эллиптич. интегралами:

Произвольная эллиптич. функция с данными периодами выражается через по формуле Эрмита: