Математическая энциклопедия - вьеториса гомологии

одна из первых теорий гомологии, определенных в неполиэдральном случае.

Впервые их рассмотрел Л. Брауэр (L. Brouwer, 1911) (в плоском случае), а затем Л. Вьеторис (L. Vietoris, 1927) распространил его определение на произвольные подмножества евклидова (и даже метрического) пространства.

Под (упорядоченным) n-мерным симплексом tⁿ подмножества Аметрич. пространства X понимается упорядоченное подмножество в Ас условием После этого определяются -цепи множества Апо данной группе коэффициентов Gкак формальные конечные линейные комбинации -симплексов с коэффициентами Граница симплекса определяется так: это -цепь. По линейности определяются граница любой -цепи, и -циклы как -цепи с нулевой границей, -цепь множества -гомологична нулю в А (взаписи ), если для нек-рой -цепи в А.

Истинным циклом, множества Аназ. последовательность в к-рой есть -цикл в А, и . Истинные циклы образуют группу (A, G). Истинный цикл z гомологичен нулю в А, если для любого существует такое N, что все при -гомологичны нулю в А. Обозначим факторгруппу группы по подгруппе циклов, гомологичных нулю.

Цикл zназ. сходящимся, если для любого существует такое N, что любые два цикла при -гомологичны между собою в А. Обозначим группу сходящихся циклов и пусть -соответствующая факторгруппа.

Цикл z имеет компактный носитель, если существует такой компакт , что все вершины всех симплексов всех циклов лежат в F. Аналогично изменим понятие гомологичности нулю цикла, потребовав наличие компакта, на к-ром лежат все осуществляющие гомологию цепи; определяем сходящийся цикл с компактным носителем. Обозначая индексом kвнизу переход к циклам и гомологиям с компактными носителями, приходим к группам и . Вторая из них наз. группой гомологии Вьеториса. В случае конечного полиэдра группы В. г. совпадают со стандартными.

Определяются также относительные группы гомологии по модулю подмножества . Именно, -циклом множества Апо модулю Вназ. любая -цепь в А, для к-рой цепь лежит в В. Аналогично, -цикл по модулю В -гомологичен по модулю Внулю в А, если где и суть -цепи в А, и цепь лежит в В.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975. А. А. Мальцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985