Математическая энциклопедия - внутренних вариаций метод

метод в теории функций комплексного переменного, используемый при решении экстремальных задач на классах однолистных и многолистных аналитич. функций. Преимущества В. в. м. связаны с тем, что при выводе лежащих в его основе вариационных формул не делается предположений о поведении варьируемых функций на границе области Dих задания, а сами вариационные формулы являются следствием единообразного изменения функций класса на внутренних подмножествах из D. Для однолистных функций в круге В. в. м. был предложен М. Шиффером [1] и, в более усовершенствованной и развитой форме, Г. М. Голузиным [2].

В применении к классу Sфункций f(z)=z+c2z²... голоморфных и однолистных в Е, ими была установлена основная вариационная формула:

фиксированные точки

в круге произвольные комплексные постоянные, а при стремится к нулю равно-иерно относительно z внутри Е. Иными словами, в классе S, не образующем к.-л. линейного пространства, для каждой функции указывается однопараметрическое семейство функций этого же класса такое, что на любом замкнутом множестве в Еразложение по степеням дается записанной выше формулой. Аналогичные формулы (с оценкой порядка малости остаточного члена внутри соответствующей области) имеют место и для других классов аналитич. функций.

Характерной чертой В. в. м. является возможность, исходя из вариационных формул, получить для граничних или экстремальных функций дифференциальное уравнение. Его исследование с использованием ана-литнч. теории дифференциальных уравнений приводит к важным качественным результатам, а в ряде случаев -к полному решению экстремальной проблемы.

В. в. м. нашел успешное применение в задачах о неналегающих областях; он стал составной частью так наз. вариационно-параметрического метода (см. [3]).

Лит.:[1] Sсhiffer М., "Amer J. Math.", 1943, v. 65, J* 2, p. 341 -80; [2] Гол узин Г. М., "Матем. сб.", 1946, т. 19 (61), в. 2, с. 203-36; [3] его же, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

И. А. Александров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985