Математическая энциклопедия - вогнутый и выпуклый операторы

нелинейные операторы в полуупорядоченных пространствах, являющиеся аналогами вогнутых и выпуклых функций действительного переменного.

Нелинейный оператор А, положительный на конусе Кв банаховом пространстве, наз. вогнутым (точнее, u0 вогнутым на К), если:

1) для каждого ненулевого выполнены неравенства

где нек-рый фиксированный ненулевой элемент из положительные скалярные функции; 2) для каждого такого что

справедливы соотношения

где

Аналогично, оператор А паз. выпуклым (точнее, и 0 -выпуклым на К), если выполнены условия 1) и 2), но неравенство (*) заменено противоположным, и функция

Типичным примером является интегральный оператор Урысона

вогнутость и выпуклость к-рого обеспечивается соответственно вогнутостью и выпуклостью скалярной функции по переменному и. Вогнутость оператора означает, что он содержит лишь "слабые" нелинейности значения оператора на элементах конуса растут "медленно" при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит "сильные" нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий; так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет: напр., для них, как правило, неверна теорема о единственности положительного решения.

Лит.:[1] Красносельский М. А., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985