Математическая энциклопедия - выборочная функция

функция аргумента t, однозначно соответствующая каждому наблюдению случайного процесса ; здесь множество элементарных событий. Часто Д используются эквивалентные В. ф. термины "реализация", "траектория". Случайный процесс характери-зустся вероятностной мерой в пространстве В. ф. При изучении локальных свойств В. ф. (где ,евклидово пространство размерности m=1, 2, ...) предполагается, что является сепарабельным или находится эквивалентный случайный процесс с заданными локальными свойствами В. ф. Наиболее полно исследованы локальные свойства В. ф. гауссовских процессов.

Для стационарных гауссовских случайных процессов (полей) имеет место альтернатива: почти все В. ф. либо непрерывны, либо неограничены на любом интервале. Для определено "расстояние"

"сфера", ) минимальное число таких "сфер", покрывающих

.

Необходимое и достаточное условие непрерывности В. ф. однородного гауссовского процесса имеет вид

Если

выпукла вниз в нек-рой окрестности точки , то для непрерывности В. ф. необходимо и достаточно, чтобы

Если выпукла вниз в окрестности +0 и

для , то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса неогранпчены. Если

то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса (поля) непрерывны. Для непрерывности В. ф. гауссовского случайного процесса достаточно, чтобы

где

здесь sup берется по . В. ф. , относят к классу , если для всех достаточно малых

Если гауссовское случайное поле на единичном кубе такое, что для достаточно малых

то с вероятностью, равной 1, равномерно по

для люб.