Математическая энциклопедия - выборочный метод

статистический метод исследования общих свойств совокупности к.-л. объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Математич. теория В. м. опирается на два важных раздела математнч. статистики теорию выбора из конечной совокупности и теорию выбора из бесконечной совокупности. Основное отличие В. м. для конечной и бесконечной совокупностей заключается в том, что в первом случае В. м. применяется, как правило, к объектам неслучайной, детерминированной природы (напр., число дефектных изделий в данной партии готовой продукции не является случайной величиной: это число неизвестная постоянная, к-рую и надлежит оценить по выборочным данным). Во втором случае В. м. обычно применяется для изучения свойств случайных объектов (напр., для исследования свойств непрерывно распределенных случайных ошибок измерений, каждое из к-рых теоретически может быть истолковано как реализация одного из бесконечного множества возможных результатов).

Выбор из конечной совокупности и его теория являются основой статистич. методов контроля качества и часто применяются в социологич. исследованиях.

Согласно теории вероятностей выборка будет правильно отражать свойства всей совокупности, если выбор производится случайно, т. е. так, что любая из возможных выборок заданного объема пиз совокупности объема N(число таких выборок равно ) имеет одинаковую вероятность быть фактически выбранной.

На практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором следующих объектов в исследуемую совокупность не возвращается (такой выбор применяется, напр., для определения выигрышных лотерейных билетов, при статистич. контроле качества, а также при демографии, исследованиях). Выбор с возвращением (выборка с повторением) рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях (примером выбора с возвращением их является регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного времени стенок сосуда, внутри которого совершается броуновское движение). Если , то повторный п бесповторный выборы дают практически эквивалентные результаты.

Свойства совокупности, исследуемые В. м., могут быть качественными и количественными. В первом случае задача выборочного обследования заключается в определении количества Мобъектов совокупности, обладающих к.-л. признаками (напр., при статистич. контроле часто интересуются количеством Мдефектных изделий в партии объема N). Оценкой для Мслужит отношение , где т - число объектов с данным признаком в выборке объема п. В случае количественного признака имеют дело с определением среднего значения совокупности Оценкой для является выборочное среднее

где те значения из исследуемой совокупности к-рые принадлежат выборке. С математич. точки зрения первый случай частная разновидность второго, к-рая имеет место, когда Мвеличин равны 1, а остальные равны 0; в этой ситуации

В математич. теории В. м. оценка среднего значения занимает центральное место потому, что она служит основой количественного описания изменчивости признака внутри совокупности, т. к. за характеристику изменчивости обычно принимают дисперсию

представляющую собой среднее значение квадратов отклонений от их среднего значения . В случае изучения качественного признака

О точности оценок и судят по их дисперсиям

к-рые в терминах дисперсии конечной совокупности s² выражаются в виде отношений (в случае выборок с повторением) и (в случае бесповторных выборок). Т. к. во многих практически интересных задачах случайные величины и при приближенно подчиняются нормальному распределению, то отклонения от н от превышающие по абсолютной величине и соответственно, могут при осуществиться в среднем приблизительно в одном случае из двадцати.

Более полную информацию о распределении количественного признака в данной совокупности можно получить С помощью эмпирического распределения этого признака в выборке.