Математическая энциклопедия - выбора аксиома

одна из аксиом теории множеств, гласящая: для всякого семейства Fнепустых множеств существует функция f такая, что для всякого множества Sиз Fимеет место (при этом f наз. функцией выбора на F). Для конечных семейств FВ. а. выводима из остальных аксиом теории множеств (напр., в системе ZF).

В. а. была явно сформулирована Э. Цермело (Е. Zermelo, 1904) и встретила отрицательное отношение со стороны многих математиков. Это объяснялось, во-первых, ее чисто экзистенциальным характером, отличающим ее от остальных аксиом теории множеств, а во-вторых, нек-рыми "неприятными" или даже противоречащими интуиции "здравого смысла" следствиями. Напр., из В. а. вытекает: существование неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел; существование трех разбиений шара В:

таких, что конгруэнтно конгруэнтно Таким образом , шар Bразбивается на конечное число частей из к-рых движениями в пространстве можно составить два таких же шара.

Впоследствии обнаружилось много содержательных утверждений, эквивалентных В. а. Таковы, напр., следующие. 1. Принцип вполне упорядочения: на всяком множестве Xсуществует отношение линейного порядка такое, что любое непустое подмножество содержит наименьший в смысле отношения Rэлемент. 2. Принцип максимальности (лемма Цорна): если всякое линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества Xограничено сверху, то X содержит максимальный элемент. 3. Всякая нетривиальная рещетка с единицей имеет максимальный идеал. 4. Произведение компактных топологич. пространств компактно. 5. Всякое множество Xравномощно .

В. а. не вступает в противоречие с остальными аксиомами теории множеств (напр., системы ZF) и логически не выводима из последних при условии их непротиворечивости. В. а. широко используется в классич. математике. Так, В. а. используют следующие утверждения. 1) Каждая подгруппа свободной группы свободна. 2) Существует, и притом единственное с точностью до изоморфизма, алгебраич. замыкание произвольного поля. 3) Каждое векторное пространство имеет базис. 4) Эквивалентность двух определений непрерывности функции в точке ( -определение и определение через пределы последовательностей). 5) Счетная аддитивность меры Лебега. Причем последние два утверждения вытекают из счетной В. а. (в формулировке аксиомы добавляется условие счетности семейства F). Доказано, что без В. а. утверждения 1) 5) не выводимы в системе , если непротиворечива.

Была построена модель теории множеств, в к-рой выполняется счетная В, а. и каждое множество чисел измеримо по Лебегу.

Эта модель была построена на предпоположении непротиворечивости системы ZF с аксиомой существования недостижимого кардинала.

Лит.:[1] Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [2] Йех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973; [3] Jech Т. J., The axiom of choise, Arast,-L., 1973.

.В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985