Математическая энциклопедия - выметания метод

метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, развитый А. Пуанкаре (см. [1], [2], а также [4]) и состоящий в следующем. Пусть D - ограниченная область евклидова пространства граница D. Пусть мера Дирака, сосредоточенная в точке ; ньютонов потенциал меры при или логарифмический потенциал меры при . Выметанием меры из области Dна границу Г наз. такая мера на Г, потенциал к-рой совпадает вне Dс , а внутри Dне превосходит ; эта мера единственна и совпадает с гармонической мерой на Г для точки . Аналогично определяется выметание произвольной положительной меры, сосредоточенной на D. Если D - шар, то плотность распределения масс , т. е. производная меры , есть не что иное, как ядро Пуассона (см. Пуассона интеграл). Вообще, если граница Г достаточно гладкая, то мера абсолютно непрерывна и плотность распределения масс совпадает с нормальной производной Грина функции для D. При помощи меры by, решение задачи Дирихле записывается в виде так наз. формулы Валле Пуссена:

где заданная на Г функция.

А. Пуанкаре в первоначальном изложении В. м. указывал сначала геометрич. конструкцию процесса выметания для шара; затем, опираясь на Гарнака теоремы и на возможность исчерпания области Dпоследовательностью шаров , он строил бесконечную последовательность потенциалов , в к-рой каждый потенциал получается из предыдущего выметанием масс из области на ее границу и к-рая сходится к решению задачи Дирихле для достаточно гладкой области D(подробное исследование условий применимости В. м. см. в [3]).

В современной теории потенциала (см. [5], [6]) проблема выметания трактуется как самостоятельная задача, близкая к задаче Дирихле, причем оказывается возможным рассматривать выметания мер на множества довольно общей природы. Таким образом, в простейшей постановке проблема выметания состоит в нахождении по заданному распределению масс m, внутри замкнутой области такого распределения масс на , чтобы вне потенциалы обоих распределений совпадали. Решением этой проблемы выметания меры в случае гладкой границы Г будет абсолютно непрерывная мера . Ее плотность, или производная записывается при помощи функции Грина области Dв виде