Математическая энциклопедия - взаимности законы

ряд утверждений, касающихся связи между символами степенных или нор-менных вычетов.

Простейшим проявлением В. з. является следующий факт, известный еще П. Ферма (P. Fermat). Простыми делителями чисел могут быть лишь число 2 и простые числа, лежащие в арифметич. прогрессии Х Другимц словами, сравнение

по простому модулю разрешимо в том и только в том случае, когда (mod 4). С помощью символа квадратичного вычета ( Лежандра символа).последнее

утверждение может быть выражено следующим образом:

В более общем случае вопрос о разрешимости сравнения

решается с помощью Гаусса закона взаимности:

где ри qразличные нечетные простые числа, а также двух дополнений к этому закону

Из этих соотношений для символов Лежандра следует, что простые числа р, для к-рых сравнение (*) при фиксированном аразрешимо, укладываются ровно в половину приведенных классов вычетов по модулю .

К. Гаусс (С. Gauss) справедливо придавал большое значение указанному В. з. и дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях [1].

Из закона взаимности Гаусса и его дальнейшего обобщения В. з. для Якоби символаследует, в частности, что тип разложения простого числа р в квадратичном расширении поля рациональных чисел определяется вычетом рпо модулю .

Закон взаимности Гаусса обобщается на сравнения вида

Однако при этом происходит переход от арифметики целых рациональных чисел к арифметике целых чисел расширения Кконечной степени тполя рациональных чисел. Кроме того, для обобщения В. з. на вычеты n-й степени нужно предполагать, что рассматриваемое расширение содержит примитивный корень степени пиз 1. При таком предположении для простых дивизоров поля К, не делящих п, имеет место сравнение

где норма дивизора , равная числу классов вычетов максимального порядка этого поля по модулю Аналог символа Лежандра определяется при помощи сравнения

Символ степенного вычета для пары целых чисел а и 6, аналогичный символу Якоби, определяется по формуле

если разложение главного дивизора (b).на простые сомножители и если 6 взаимно просто с an. В. з. для n=4 в поле был установлен К. Гауссом [2], для n=3 в поле Г. Эйзенштейном [3]. Общий В. з. для символа степенного вычета в поле простой степени пбыл установлен Э. Кумме-ром [4]. Формула Куммера для регулярного простого числа пимеет вид

где целые числа поля

и многочлен степени п-1 такой, что

Следующий этап в изучении общих В. з. связан с работами Д. Гильберта [5], [6], выяснившего их локальный аспект. Д. Гильберт для нек-рых случаев установил В. з. в виде формулы произведения для его символа норменного вычета

Он подметил также аналогию этой формулы с теоремой о вычетах алгебраич. функций простые точки с символом норменного вычета соответствуют точкам ветвления на римановой поверхности.

Дальнейший прогресс в изучении В. з. связан с именами Ф. Фуртвенглера [7], Т. Такаги [8], Э. Артина [9], X. Хассе [10]. Наиболее общая форма В. з. была получена И. Р. Шафаревичем [11].

Как и закон взаимности Гаусса, общие В. з. тесно связаны с задачей изучения законов разложения простых дивизоров заданного поля алгебраич. чисел kв его алгебраич. расширениях K/k с абелевой Галуа группой. В частности, теория полей классов, решающая эту задачу, может быть обоснована (см. [12]), исходя из закона взаимности Шафаревича.

Лит.:[1] Gauss С. P., Werke, Bd 1 -Disquisitiones arithmeticae, Gott., 1870; [2] его же, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio prima et secunda, в кн.: Werke, Bd 2, Gott., 1863, S. 65, 93; [3] Eisenstein G., "J. Math.", 1844, Bd 27; [4] Rummer E., "Ber. K. Akad. Wiss. Berlin", 1850; [5] Hilbert D., "Jahresber. Dtsch. Math.Ver.", 1897, Bd 4, S. 175-546; [6] его же, там же, 1899, Bd 6, №1, S. 88-94; [7] Furtwangler Ph., "Math. Ann.", 1909, Bd 67, S. 1-31; 1912, Bd 72, S. 346-86; 1913, Bd 74, S. 413-29; [8] Takagi Т., "J. Colloid Science", 1920, v. 41, t. 9; [9] A r t i n E., "Abh. Math. Semin. Hamburg Univ.", 1928, Bd 5; [10] Hasse H., "Math. Ann.", 1933, Bd 107, № 5, S. 731-60; [11] Шафаревич И. Р., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 3 (25), с. 165; [12] Лапин А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1954, т. 18, № 4, с. 335-78; [13] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [14] Фаддеев Д. К., в кн.: Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 131-40. С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985