Математическая энциклопедия - запаздывающих потенциалов метод

принцип Дюамеля,метод отыскания решения однородной задачи Коши для неоднородного линейного дифференциального уравнения или системы с частными производными по -известному решению однородного уравнения или системы. Пусть дано уравнение

где Lпроизвольный линейный дифференциальный оператор, к-рый не содержит производных по tвыше п-1 порядка. Частное решение и( х, t )уравнения (1) при t>0 ищется в виде Дюамеля интеграла

где j является (регулярным или обобщенным) решением однородного уравнения

Если

то функция (2), полученная с помощью суперпозиции импульсов j, будет решением задачи Коши

для неоднородного уравнения (1).

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений и систем 3. п. м. известен под названием метода вариации постоянных, или метода импульсов. Этот метод для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка т:

заключается в том, что если u1(t), u2(i), ..., um(t)какая-либо фундаментальная система решений уравнения lи=0, то решение u(t)неоднородного уравнения (4) отыскиваетсяв виде

Функции c^j=dc^j/dt, j=l,..., т, однозначно определяются как решения системы алгебраич. уравнений

с отличным от нуля детерминантом Вроньского.

Если f(i)=0 при то решение uf(t)однородной задачи Коши (3) для уравнения (4) принято наз. нормальной реакцией на внешнюю нагрузку uf(t). Функция и f(t)представима в виде свертки или интеграла Дюамеля

где Zcp(i)=0 при t>0 и

Пусть f(x, t), x=( х 1,..., xn),функция, имеющая непрерывные частные производные до порядка (n+1)/2 в случае нечетного пи (n+2)/2 в случае четного п,a Mr[f(x, t)]-среднее значение f на сфере | у-х| = r с центром в точке хи радиуса r. Зависящая от неотрицательного параметра функция

является решением волнового уравнения

удовлетворяющим начальным условиям

Интеграл Дюамеля

представляет собой решение однородной задачи Коши: и( х,0) = 0, ut( х,0) = 0 для уравнения

При n=2 и n=3 из (5) получаются выражения

и

где

Если же n=1, то

Интеграл (6) наз. запаздывающим потенциалом с плотностью f.

3. п. м. (метод вариации параметров) особенно прост и полезен, когда он применяется к линейным системам дифференциальных уравнений 1-го порядка вида

где и=и( х, t)вектор с ккомпонентами, А ⁱ и Взаданные матрицы размера kk, а f заданный вектор.

Пусть вектор j=j(x, t;t), зависящий от параметра есть решение задачи Коши

для однородной системы Sj=0. Тогда вектор

является решением неоднородной системы (7) с начальным условием

Функция ф(x, t;t), соответствующая неоднородному уравнению теплопроводности

имеет вид

где Rⁿевклидово пространство. Решение и( х, t )уравнения (10) с начальным условием (9) задается интегралом Дюамеля (3), где под знаком интеграла стоит функция (11).

З. п. м. используется и при исследовании смешанных задач для уравнений с частными производными параболич. и гиперболич. типов, позволяя общую задачу редуцировать к задачам со специальными начальными и граничными функциями.

Напр., пусть в области W={(x, t)|a<x<b, 0<t<T} ведано уравнение с частными производными

где В,b, c=const, B<0,

к-рое гиперболично при x<0 и параболично при x>0. Если j>(x, t) - непрерывно дифференцируемое при х=0 решение смешанной задачи

для уравнения (12) в области W, то, согласно 3. п. м., интеграл Дюамеля

с непрерывно дифференцируемой плотностью f(t)будет решением смешанной задачи

для уравнения (12) в области W.

Интеграл Дюамеля (13) по существу есть формула представления линейного оператора Т, к-рый преобразует заданную граничную функцию f(t) в решение и( х, t). Интегральная формула Дюамеля имеет место не только для оператора Тиз (13), но и для всех линейных операторов Т, удовлетворяющих следующим условиям.

1) Оператор Топределен для всех функций f(t), равных нулю при t<0, и преобразует f в функцию Tf=u(x1, ..., х п, t), также равную нулю при t<0.

2)

где q(t,t) некоторая функция tи параметра т.

3) Если f(0)=0 и f(t)дифференцируема, то

4) Если Tf(t)=j(t), то для всех t>0

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Верс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [3] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1976; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Понтрягин Л. С, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [6] Тихонов А. Е, Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

А. М. Haxyшев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985