Математическая энциклопедия - зариского теорема

о связности: пусть f: собственный сюръективный морфизм неприводимых многообразий и пусть поле рациональных функций k(Y)сепарабельно алгебраически замкнуто в k(Х), а -нормальная точка, тогда f^-1(y)связно (и более того, геометрически связно) (см. [2]). Эта теорема обосновывает классический ¹ принцип вырождения: если общий цикл алгебраич. системы циклов является многообразием (т. е. геометрически неприводим), то любая специализация этого цикла связна.

Частным случаем 3. т. о связности является так наз. основная теорема Зариского, или теорема Зариского о бирациональных соответствиях: бирациональный морфизм алгебраич. многообразий /: является открытым вложением в окрестности нормальной точки если f ^-1(y)конечное множество (см. [1]). В частности, бирациональный морфизм нормальных многообразий, биективный на точках, является изоморфизмом. Другая формулировка этой теоремы: пусть f:квазиконечный отделимый морфизм схем, а У квазикомпактная квазиотделимая схема, тогда существует разложение f= uog, где иконечный морфизм, a gоткрытое вложение [3].

Лит.:[1] Zariski О., "Trans. Amer. Math. Soc", 1943, v. 53, № 3, p. 490-542; [2] eго же, "Mem. Amer. Math. Soc", 1951, № 5, p. 1-90; [3] Grоthendieсk A., "Publ. Math. IHES", 1961, № 11; 1967, K"32.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985