Математическая энциклопедия - аргумента принцип

геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть ограниченная область на комплексной плоскости , причем граница является непрерывной кривой, ориентация к-рой согласована с ; если функция мероморфиа в окрестности н на не имеет нулей и полюсов, то разность между числом ее нулей и числом полюсов в (с учетом кратностей) равна деленному на приращению аргумента при положительном обходе , т. е.

где обозначает какую-либо непрерывную ветвь на кривой . Выражение справа равно индексу кривой относительно точки А. п. используется для доказательства различных утверждений о нулях голоморфных функций (основная теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях и т. п.). Из А. н. следуют такие важные геометрич. принципы теории функций, как сохранения области принцип, максимума модуля принцип, теорема о локальном обращении голоморфной функции. Во многих вопросах А. п. используется неявно в виде его следствия Руше теоремы.

Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности в окрестности можно заменить следующим: имеет в конечное число нулей и полюсов и непрерывно продолжается на . Вместо комплексной плоскости можно рассматривать произвольную рпмаиову поверхность, при этом ограниченность заменяется условием, что

компакт. Из А. п. для римановых поверхностей следует, что на компактной римановой поверхности число нулей любой мероморфной функции, не равной тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях на Сэквивалентен теореме о сумме логарифмических вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда называют следующее утверждение. Если мероморфна в окрестности области , ограниченной конечным числом непрерывных кривых, и на не имеет нулей и полюсов, то для любой функции ф, голоморфной в окрестности , справедливо равенство:

где первая сумма распространяется на все нули, а вторая на все полюсы f в D. Имеется топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив для любых открытых локально конечнократных отображений непрерывно продолжающихся на и таких, что

Аналогом А. п. для многих комплексных переменных является, напр., следующая теорема: пусть ограниченная область в с жор-дановой границей и есть отображение, голоморфное в окрестности и такое, что ; тогда число прообразов 0 в (с учетом кратностей) равно .

Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [2] IIIабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976. Е. М. Чирка.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985