Математическая энциклопедия - ориентация

формализация и далеко идущее обобщение понятия направления обхода. Определяется О. нек-рых специальных классов пространств ( многообразий, векторных расслоений, Пуанкаре комплексов и т. д.). Современный взгляд на О. дается в рамках обобщенных теорий когомологий.

В классич. случае ориентация выбор одного класса систем координат, связанных между собой положительно в нек-ром определенном смысле. Каждая система задает О., определяя класс, к к-рому она принадлежит.

В случае векторного пространства конечной размерности две системы координат связаны положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой. Здесь имеется два класса. В комплексном пространство комплексный репер е 1, ..., е п определяет действительный репер e1 ... , е п, ie1, ... , ien в том же пространстве, рассматриваемом как , и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (т. е. комплексная структура задает О. в ).

На прямой, плоскости и вообще в действительном аффинном пространство Eⁿ системы координат состоят из точки (начала 0) и репера е, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (напр., при четной перестановке векторов репера). Две системы координат определяют одну и ту же О., если одну из них можно перевести в другую непрерывно, т. е, существует непрерывно зависящее от параметра семейство координатных систем Ot, et, связывающее данные системы 00, е 0 и O1, е 1. При отражении в плоскости (размерности п-1) системы двух классов переходят друг в друга.

Классы систем координат можно задавать различными геометрич. фигурами. Если какая-либо фигура Xпо определенному закону связывается с системой координат, то зеркально симметричная ей фигура будет по тому же закону связана с системой координат из другого класса. Тем самым X(вместе с данным ваконом) определит О. Напр., на плоскости E² окружность с фиксированным направлением обхода задает системы координат из одного класса по правилу: начало лежит в ее центре, первый вектор берется произвольно, а второй так, чтобы вращение от первого ко второму через меньший угол происходило в направлении, заданном на окружности. В Е ³ репер можно связать с винтом с точностью до непрерывного вращения и растяжения пространства: первый вектор идет по направлению ввинчивания, вращение от второго вектора к третьему совпадает с вращением при ввинчивании (предполагается при этой, что все винты находятся в положительной связи друг с другом). Репер может быть также задан тремя первыми пальцами руки хорошо известным способом.

Если в Eⁿ задана О., то каждое полупространство

определяет О. на граничной плоскости Е ^n-1. Напр., уславливаются, что если в репере последние п-1 векторов лежат в E^n-1, a первый смотрит наружу из

, то последние векторы задают О. в Е ^п-1. В Е ⁿ О. может быть задана порядком вершин n-мерного симплекса (треугольника в Е ², тетраэдра в Е ³). Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну О., если и только если они отличаются на четную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до четной перестановки порядком вершин наз. ориентированным. Каждая ( п-1)-грань s^n-1 ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит s^n-1, то порядок остальных принимается за положительный для s^n-1.

В связном многообразии Мсистемой координат служит атлас набор карт, покрывающих М. Атлас наз, ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны +1, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие Мназ. ориентируемым.

В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса наз. ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной О. в точке х 0 (связные карты, содержащие х 0, естественным образом распадаются на два класса). В случае дифференцируемого многообразия локальную О. можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке х 0 (напр., вращение на окружности можно задать указанием одного касательного вектора). Если Мимеет край и ориентировано, то край также ориентируем, напр. по правилу: в точке края берется репер, ориентирующий М, первый вектор к-рого направлен из , а остальные векторы лежат в касательной плоскости края; эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Вдоль любого пути q:[0, 1] М можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым О. в точке q(0) определяет О. в точке q(1), и эта связь зависит от пути qлишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если q - петля, т. е. g(0)=g(l)=x0, то qназ. дезориентирующим путем, если эти О. противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы p( М, х 0) в группу порядка 2: дезориентирующие петли переходят в -1, а остальные в +1. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно наз. ориентирующим (т. к. накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над Модномерное расслоение, тривиальное, если и только если Мориентируемо. Для дифференцируемого Моно может быть определено как расслоение Lⁿ (М). дифференциальных форм порядка п. Ненулевое сечение в нем существует лишь в ориентируемом случае и задает форму объема на М и одновременно О. Классифицирующим отображением этого расслоения служит отображение . Многообразие Мориентируемо, если и только если не равен нулю класс , служащий образом класса, двойственного к . Он двойствен циклу, носителем к-рого служит многообразие, являющееся прообразом при отображении k, приведенным в общее положение. Этот цикл наз. ориентирующим, т. к. дополнение к нему ориентируемо: если по нему Мразрезать, то получится ориентируемое многообразие. Само Мориентируемо (неориентируемо), если и только если после разреза получится несвязное многообразие (это дополнение связно). Напр., в ориентирующим циклом служит проективная прямая

Триангулированное многообразие М(или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все n-мерные симплексы так, что два симплекса с общей (n-1)-мерной гранью индуцируют на ней противоположные О. Замкнутая цепочка n-мерных симплексов, каждые два соседа в к-рой имеют общую ( п-1)-грань, наз. дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие О., а остальные соседи противоположные.

О. может быть определена на гомологич. языке: для связного ориентируемого многообразия без края гомологии группа Н п (М; ) (с замкнутыми носителями) изоморфна , и выбор одной из двух образующих задает О.отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для Н п( М, дМ;). В первом случае ориентируемость есть гомотопич. инвариант М, а во втором пары ( М, дМ). Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопич. тип, но разный относительно края. Локальная О. многообразия может быть также задана выбором образующей в группе , изоморфной . Гомологич. интерпретация О. позволяет перенести это понятие на обобщенные гомологические многообразия.

Пусть над пространством Xзадано расслоение р: со стандартным слоем Fⁿ. Если О. всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение , определенное путем g: однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет О., то расслоение наз. ориентированным, а указанный выбор О. слоев ориентацией расслоения. Напр., лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает О., в то время как боковая поверхность цилиндра обладает.

Понятие О. допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, к-рая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в нек-рой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать "знак" О. В качестве такой подгруцпы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для к-рых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

Ориентация в обобщенных теориях когомологий. Пусть мультипликативная обобщенная теория когомологий (ниже-просто теория).

Имеется единица , и при изоморфизме надстройки ей отвечает элемент , где Sⁿ есть n-мерная сфера.

Пусть x есть n-мерное векторное расслоение над линейно связным пространством Xи пусть Тx, Тома пространство расслоения x. Пусть i: Sⁿ-> Тx - стандартное вложение, т. е. гомеоморфизм на "слой" над нек-рой точкой . Элемент наз. ориентацией или Тома классом расслоения x,

если , где некоторый обратимый элемент (напр., e=1). Расслоение, обладающее О., наз. ориентируемым в теории , или просто Е-о риентируемым, а расслоение с выбранной E-ориентацией наз. Е-о риентированным.