Математическая энциклопедия - ассоциативные кольца и алгебры

кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно сложения. Ассоциативная алгебра, кроме того, должна быть векторным пространством над фиксированным полем Fи умножение в ней связано с умножением на элементы поля условиями для всех , из алгебры.

Первыми примерами ассоциативных колец (А. к.) и ассоциативных алгебр (А. а.) были числовые кольца и поля (поле комплексных чисел и его подкольца), алгебры многочленов, алгебры матриц над полями, кольца функций. Как самостоятельная область алгебры теория А. к. и А. а. оформилась к началу 20 в. Эта теория имеет много точек соприкосновения с многими областями математики, в особенности с алгебраич. геометрией и алгебраич. теорией чисел (коммутативные кольца), функциональным анализом (коммутативные нормированные кольца, кольца операторов и кольца функций), топологией (кольца непрерывных функций на топологич. пространствах). Из теории А. к. и А. а. выделились в самостоятельные области алгебры теория полей и теория коммутативных колец (см. также Коммутативная алгебра), теория представлений ассоциативных алгебр.

Теория топология, колец и тел входит в качестве составной части в топологическую алгебру.

Классич. часть теории А. к. и А. а.теория конечномерных А. а. (см. [2]). Центральные результаты этой теории: конечномерная простая (т. е. без собственных идеалов) А. а. над полем Fявляется полной матричной алгеброй над нек-рым телом, конечномерным над F(теорема Веддерберна); конечномерная А. а. над полем характеристики нуль (и даже более общо сепарабельная конечномерная А. а.) есть прямая сумма (как линейных пространств) своего радикала I (т. е. максимального нильпотентного идеала) и нек-рой полупростой (т. е. с нулевым радикалом) подалгебры S, причем любые две дополнительные полупростые подалгебры Sи Sj сопряжены (см. Веддерберна Мальцева теорема).

Одним из важнейших классов А. к. являются тела (то есть А. к., в к-рых разрешимы уравнения и для всех а, b из кольца, ). Тела, являющиеся алгебрами над нек-рым полем, наз. алгебрами с делением. Теория конечномерных алгебр с делением клас-сич. часть теории тел. Описаны все конечномерные А. а. с делением над полем действительных чисел это само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов (Фробениуса теорема). Всякое конечное тело коммутативно (теорема Веддерберна о телах). Построена теория Галуа тел [5].

Центральными понятиями структурной теории А. к. являются понятия Джекобсона радикала, полупростоты и примитивности. А. к. наз. нолупростым (в смысле Джекобсона), если его радикал Джекобсона равен нулю. Кольцо паз. примитивным (справа), если оно обладает правым неприводимым точным модулем. Всякое полупростое А. к. является подпрямой суммой примитивных колец. Каждое примитивное А. к. Rесть плотное кольцо линейных преобразований нек-рого векторного пространства Vнад телом (теорема плотности Джекобсона); здесь плотность означает, что для любых линейно независимых элементов из V и любых элементов из Vсуществует преобразование такое, что при Важное место в структурной теории колец занимает общая теория радикалов (см. Радикалы колец).

Классич. частью теории А. к. является теория артиновых колец (справа), т. е. колец с условием минимальности для правых идеалов. Центральный результат этой теории: А. к. будет полупростым артиновым кольцом тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой конечного числа полных матричных колец над телами (Веддерберна Артина теорема).

Большое значение в структурной теории А. к. имеет понятие (классического) кольца частных. Кольцо наз. (правым) кольцом частных своего подкольца R, если в Q(R).все регулярные элементы (т. е. не делители нуля) кольца Rобратимы и любой элемент из имеет вид , где . А. к. обладает кольцом частных тогда и только тогда, когда для любых элементов где регулярен, существуют элементы такие, что регулярен (теорема Оре). Кольцо обладает полупростым артиновым кольцом частных тогда и только тогда, когда оно полупервично (т. е. для всякого ненулевого идеала ), удовлетворяет условию минимальности для правых аннуляторных идеалов вида

где S - подмножество R, и не содержит бесконечных прямых сумм правых идеалов (теорема Голди). Наряду с классич. кольцами частных изучаются и кольца частных в других смыслах, в первую очередь максимальные, или полные, кольца частных [8].