Математическая энциклопедия - барьер

барьер Лебега, в теории потенциалафункция, существование к-рой является необходимым и достаточным условием регулярности граничной точки в отношении поведения обобщенного решения задачи Дирихле в этой точке (см. также Перрона метод. Регулярная точка).

Пусть D - область в евклидовом пространстве , и точка ее границы . Барьером для точки наз. всякая функция wx (x) , непрерывная в пересечении замкнутой области и нек-рого шара с центром в точке , супергармоническая внутри и положительная в , за исключением точки , в к-рой она обращается в нуль. Напр., при во всякой граничной точке , для к-рой существует замкнутый шар , имеющий с единственную общую точку , в качестве Б. можно взять гармонич. функцию

где радиус шара его центр.

Б. в теории функций комплексного переменногофункция, из существования к-рой для всех граничных точек области Dследует, что Dявляется голоморфности областью. Пусть D - область в комплексном пространстве точка границы . Б. в точке есть всякая аналитич. функция , имеющая особенность в . Так, для граничной точки любой плоской области Б. является функция . В каждой точке границы шара

также существует Б. функция .

Б. существует в граничной точке области D, если в Dопределена аналитпч. функция , неограниченная в , т. е. такая, что для нек-рой последовательности точек , сходящейся к , имеем

Обратное справедливо для областей в следующей усиленной форме: для любого множества Еточек границы области D, в к-рых существует Б., найдется голоморфная в Dфункция, неограниченная во всех точках Е. Если Евсюду плотно на границе D, то D - область голоморфности.

Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964, гл. 4; [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 2,2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев, М. Ширинбеков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985