Математическая энциклопедия - бикомпактное пространство

топологическое пространство, в каждом открытом покрытии к-рого содержится конечное подпокрытие того же пространства. Следующие утверждения равносильны: 1) пространство Xбикомпактно; 2) пересечение любой центрированной системы замкнутых в Xмножеств не пусто; 3) пересечение любой максимальной центрированной системы замкнутых в Xмножеств не пусто; 4) пересечение произвольной убывающей вполне упорядоченной последовательности любой мощности непустых замкнутых в X множеств не пусто; 5) каждая центрированная система подмножеств множества Xимеет точку прикосновения в X; 6) каждый ультрафильтр на Xсходится в X;7) для каждого бесконечного подмножества Ммножества Xв Xсуществует точка полного накопления. Подпространство n-мерного евклидова пространства бикомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Понятие бикомпактного топологического пространства занимает фундаментальное положение в топологии и современном функциональном анализе; при этом нек-рые принципиальные свойства Б.