Математическая энциклопедия - бикомпактное расширение

(би)компактификация, расширение топологического пространства, являющееся бикомпактным пространством. Б. р. существуют у любого топологич. пространства, у любого T1 -пространства есть Б. р., являющиеся T1 -пространствами, но наибольший интерес представляют ха-усдорфовы Б. р., имеющиеся лишь у вполне регулярных пространств.

Обычно под Б. р. понимают хаусдорфово Б. р., но иногда полезно рассматривать и произвольные Б. р. П. С. Александров [1] доказал, что всякое локально бикомпактное хаусдорфово пространство одной точкой можно дополнить до бикомпакта (см. Александрова бикомпактное расширение). П. С. Урысор [Я], доказав, что всякое нормальное пространство со счетной базой вкладывается в гильбертов кирпич, установил тем самым, что оно обладает Б. р. счетного веса [2]. Термин "Б. р." впервые ввел А. Н. Тихонов [3], к-рый определил класс вполне регулярных пространств и доказал, что вполне регулярные пространства и только они обладают хаусдорфовыми Б. р., при этом вполне регулярное пространство веса имеет хаусдорфово Б. р. веса .

Два Б. р. пространства Xназ. эквивалентными если существует гомеоморфизм тождественный на . Часто Б. р. наз. само отображение вложения: При таком определении два расширения будут эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм Обычно не различают эквивалентные Б.-р. и наз. Б. р. пространства Xкласс эквивалентных между собой Б. р. этого пространства. В таком случае можно говорить о множестве хаусдорфовых Б. .