Математическая энциклопедия - бирациональное отображение

бирациональный изоморфизм,рациональное отображение алгебраич. многообразий, индуцирующее изоморфизм их полей рациональных функций. В более общем смысле, рациональное отображение схем наз. бирациональным отображение м, если оно удовлетворяет одному из. следующих эквивалентных условий: а) существуют такие плотные открытые множества , что определено на и осуществляет изоморфизм подсхем б) если множества общих точек неприводимых компонент соответственно схем , то f индуцирует биективное соответствие множеств и изоморфизм .локальных колец для каждого .

Если схемы неприводимы и приведены, то локальные кольца их общих точек отождествляются с полями рациональных функций соответственно на В этом случае Б. о. f: индуцирует, согласно условию б), изоморфизм полей рациональных функций:

Схемы Xи Yназ. бирационально эквивалентными, или бирационально изоморфными, если существует Б. о. . Частный случай Б. о. бирационалъный морфизм.

Простейшим Б. о. является моноидалъное преобразование с неособым центром. Для гладких полных многообразий размерности всякое Б. о. может быть представлено в виде композиции таких преобразований и обратных к ним. В общем случае вопрос остается (к 1977) открытым.

Лит.:[1] Шафаревич II. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. И. В. Долгачее, В. А. Исковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985