Математическая энциклопедия - биркгофа эргодическая теорема

одна из важнейших теорем эргодической теории. Для эндоморфизма Тпространства Xс -конечной мерой m Б. э. т. утверждает, что для любой функции почти всюду (при почти всех ) существует предел

(временное среднее, или среднее вдоль траектории), причем а если , то

Для измеримого потока. пространства Xс инвариантной 0-конечной мерой Б. э. т. утверждает, что для любой функции почти всюду существует предел

с теми же свойствами

Б. э. т. была высказана и доказана Дж. Биркгофом [1]. Она подверглась модификациям и обобщениям в различных направлениях (имеются теоремы, к-рые, помимо Б. э. т., охватывают также многие из утверждений несколько иного рода, известные в теории вероятностей как эргодические теоремы;имеются также эргодические теоремы для более общих полугрупп преобразований, см. [2]). Б. э. т. и ее обобщения наз. индивидуальными эргодическими теорема-м и, т. к. в них речь идет о существовании средних вдоль (почти каждой) отдельной траектории, в отличие от статистических эргодических теорем эргодпческой Неймана теоремы и ее обобщений. (В зарубежной литературе сходимость средних почти всюду часто подчеркивают термином pointwise ergodic theorem.)

Лит.:[1]Вirkhоff G. D., "Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A.", 1031, v. 17; [2] Каток А. Б., Синай Я. Г., Стёпин А. М., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 13, М., 1975. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985