Математическая энциклопедия - чаплыгина метод

метод приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящий в одновременном построении двух семейств последовательных приближении к ее решению. Напр., в случае задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка

одно из указанных семейств приближает решение с недостатком, а другое с избытком.

В основе метода лежит Чаплыгина теорема о дифференциальных неравенствах. Пусть у(х)решение задачи (1) и пусть кривые у=и (х)и y=v(x)целиком лежат в прямоугольнике R, проходят через точку (x0, y0) и при х>х0 удовлетворяют неравенствам

Тогда при х>х 0 справедливы неравенства

Функции и(х)и v(х), удовлетворяющие условиям теоремы Чаплыгина, дают двустороннюю оценку для решения задачи (1).

Если найдена пара начальных приближении u0(x) u0(x), удовлетворяющих условиям (2), то Ч. м. позво ляет построить пару u1(x), v1 (х)более точных приближений, удовлетворяющих условиям

В случае когда сохраняет знак в области R, пара u1(x), v1 (х) может быть получена путем решения двух линейных дифференциальных уравнении с начальным условием y(x0)=y0. Если, напр., в R, то любая кривая, по к-рой плоскость х= сопstпересекает поверхность z=f(x, y), выпукла вниз, и каждая ее дуга лежит ниже хорды и выше касательной, проведенных из нек-рой ее точки. Если при нек-ром х=const уравнение касательной к кривой z=f(x, у )в точке y=u0(x):

где

а уравнение хорды, проходящей через точки y=u0(x) и y=v0(x) той же кривой где

то для этого значения химеет место неравенство

Условия (4) выполняются равномерно но . в области R; решение у=и1(х)задачи Коши y'=k(x)y+p(x), у (х 0)=y0 и решение y=v1 (х) задачи Коши у' = l (х) у+р (х), у (х 0)=у0 удовлетворяют условию (2). Можно показать, что они удовлетворяют и условию (3). Зная пару u1(x), v1 (х), можно тем же способом построить следующую пару u2(x), v2 (х)и т. д. Процесс очень быстро сходится:

где константа сне зависит ни от х, ни от п.

Второй способ построения уточненных приближений u п (х), vn(x)по известным u п-1 (х), vn-1(x)не требует сохранения знак а в R. В этом способе

где k Липшица константа функции f(x, у )в R. И в этом случае пары функций и п (х), vn(x)и u п-1 (х), vn-1(x)удовлетворяют условию (3) равномерно по х, но скорость сходимости тоньше, чем в формуле (5).

Основная трудность в применении Ч. м. состоит в построении начальных приближений u0 (х), v0 (х).

Метод предложен С. А. Чаплыгиным в 1919.

Лит.:[1] Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнении, М.-Д., 1950; [2] Лузин Н. Н., О методе приближенного интегрирования академика С. А. Чаплыгина, лТр. ЦАГИ

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985