Математическая энциклопедия - чжоу многообразие

Чжоу схема,-алгебраическое многообразие, точки к-рого параметризуют все алгебраич. подмногообразия Xразмерности r и степени dпроективного пространства Р ⁿ.

В произведении где -двойственное к Р ⁿ проективное пространство, параметризующее гиперплоскости рассматривается подмногообразие

Его образ при проекции на второй сомножитель есть гиперповерхность в к-рая задается формой FX от r+1 системы и по n+1 переменным, однородной степени dпо каждой системе переменных. Форма FX наз. ассоциированной формой (или формой Кэли) многообразия X;она полностью определяет подмногообразие X. Эта форма была введена Б. Л. Ван дер Варденом и В. Чжоу [1]. Коэффициенты формы FX определены с точностью до постоянного множителя и наз. координатами Чжоу многообразия X.

Координаты Чжоу многообразия Xопределяют точку где v-нек-рая функция от п, r, d. Точки соответствующие всем неприводимым подмногообразиям размерности rи степени d, заполняют в P^v квазипроективное подмногообразие С п,r,d, называемое многообразием Чжоу. Если рассматривать не только неприводимые подмногообразия, но и положительные алгебраич. циклы (т. е. формальные линейные комбинации многообразий с целыми положительными коэффициентами) размерности г и степени dв Р ⁿ, то получается замкнутое подмногообразие к-рое также наз. многообразием Чжоу. Ч. м. является базой универсального алгебраич. семейства где индуцировано проекцией и слой в точке совпадает с циклом X. Простейшими примерами Ч. м. являются многообразия С 3, j, dкривых степени dв Р ³. Так, -неприводимое многообразие размерности 4, изоморфное квадрике Плюккера в Р ⁵, состоит из двух компонент размерности 8, где С ⁽¹⁾ соответствует плоским кривым 2-го порядка, а С ⁽²⁾ -парам прямых; состоит из четырех компонент размерности 12, к-рые соответствуют тройкам прямых, кривым, состоящим из прямой и плоской квадрики, плоским кубикам, неплоским кривым степени 3. Во всех этих случаях многообразия C3,1,d рациональны. Однако из нерациональности схемы модулей кривых достаточно большого рода следует, что при достаточно больших dмногообразия C3,1,d нерациональны (см. [2]).

Если -алгебраич. подмногообразие, то циклы размерности r и степени d, лежащие в V, образуют алгебраич. подмногообразие Этот результат позволяет ввести нек-рую алгеброгеометрич. структуру на множестве положительных r-мерных циклов многообразия V (см. [1]).

О других подходах к проблеме классификации многообразий см. Гильберта схема, Модулей проблема.

Лит.:[1] Vander Waerden B. L., Chow W.-L., лMath. Ann.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985