Математическая энциклопедия - диофантово множество

множество состоящее из упорядоченных наборов из пцелых (целых неотрицательных, целых положительных) чисел, для к-рого можно указать диофантово уравнение

зависящее от ппараметров а 1, ..., а п, допустимыми значениями к-рых являются целые (соответственно целые неотрицательные или целые положительные), числа, и разрешимое относительно х 1, ..., xl тогда и только тогда, когда Здесь несущественно, понимается ли под разрешимостью существование решения в целых, целых неотрицательных или целых положительных числах, поскольку уравнение (*) разрешимо в целых (целых неотрицательных, целых положительных) числах тогда и только тогда, когда уравнение

разрешимо в целых положительных числах (соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

разрешимо в целых неотрицательных числах, или соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

разрешимо в целых числах, ибо по теореме Лагранжа каждое целое неотрицательное число представимо в виде суммы четырех квадратов).

Для любого Д. м. можно указать соответствующее уравнение (*), в к-ром степень многочлена Рне больше 4 (это достигается ценой увеличения числа неизвестных). Для каждого Д. м. целых неотрицательных чисел, помимо уравнения общего вида (*), можно указать уравнение вида Р( х 1,..., xl) = а 1; иными словами, каждое Д. м. целых неотрицательных чисел является множеством всех неотрицательных значений, принимаемых некоторым многочленом с целочисленными коэффициентами при произвольных значениях переменных. В качестве Рвсегда можно взять многочлен степени не выше 5, если допустимыми значениями переменных являются целые неотрицательные или целые положительные числа, и многочлен степени не выше 6, если переменные принимают произвольные целочисленные значения.

Класс Д. м. замкнут относительно операций перестановки и отождествления аргументов, объединения, пересечения, прямого произведения и проектирования (проекцией множества состоящего из упорядоченных наборов из п чисел, наз. множество

а также относительно операции, ставящей множеству в соответствие множество

Класс Д. м. совпадает с классом перечислимых множеств (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости), и все результаты о перечислимых множествах переносятся на Д. м. В частности, из теоремы о существовании универсального перечислимого множества следует, что существует такое число l, что для каждого псуществует многочлен Un(a1, . . ., а п, т, х 1, . .., х l )с целочисленными коэффициентами, универсальный в следующем смысле: для каждого диофантова (перечислимого) множества свстоящего из упорядоченных наборов из пчисел, можно указать такое значение параметра т(номер множества ), что уравнение

разрешимо относительно х 1, ..., xl тогда и только тогда, когда Существуют многочлены, универсальные в других смыслах (см., напр., [1]).

Диофантовыми являются многие интересные с теоретико-числовой точки зрения множества, напр, множество всех простых чисел, множество всех совершенных чисел, множество всех тех п, для к-рых разрешимо уравнение Ферма

Доказательство теоремы о том, что перечислпмые множества диофантовы, является эффективным, т. е. для стандартно заданного перечислимого множества можно явно указать соответствующее диофантово уравнение. Этот универсальный метод, не использующий специфики рассматриваемых множеств, приводит к довольно громоздким многочленам, однако для нек-рых конкретных множеств удается найти их сравнительно простые диофантовы представления, опираясь, кроме перечислимости, на другие свойства этих множеств. Можно рассматривать и называть диофантовыми множества, представимые как множества всех тех упорядоченных наборов из пэлементов нек-рого кольца K, для к-рых в этом кольце разрешимо относительно х 1 , ..., xl уравнение вида (*), где Р - многочлен либо с целочисленными коэффициентами, либо с коэффициентами из К.

Лит.:[1] Матиясевич Ю. В., "Успехи матем. наук", 1972, т. 27, в. 5, с. 185-222.

Ю. В. Матиясевич.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985