Математическая энциклопедия - диофантовы приближения

раздел теории чисел, в к-ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в к-рых некоторым действительным функциям необходимо придать "малые" значения при целочисленных значениях аргументов. В силу этого Д. п. тесно связаны с решением неравенств в целых числах диофантовых неравенств, а также с решением уравнений в целых числах (см. Диофантовы уравнения).

Если рассматриваемая (аппроксимирующая) функция линейна относительно целочисленных аргументов х 1, . .., х п, то Д. п. с функцией Fназ. линейным и, в противном случае нелинейными. Если Fоднородный многочлен от х 1, ..., х п, то Д. п. с функцией Fназ. однородными, а если Fнеоднородный многочлен, то не однородными. Иногда рассматривается одновременно несколько функций F, имеющих хотя бы один общий целочисленный аргумент. В этом случае Д. п. наз. совместными. Совместные Д. п. могут быть линейными или нелинейными, однородными или неоднородными в указанном выше смысле.

Численные значения Fмогут считаться близкими к нулю не обязательно при

с некоторым е>0, но и при

(односторонние приближения). Функции Fмогут зависеть от параметров, непрерывно меняющихся в некоторой области,это параметрич. Д. п. Наконец, область определения и область значений аппроксимирующих функций могут быть не только подмножествами евклидова пространства, а существенно иных топологич. пространств (см. ниже Д. п. в поле р-адических чисел и Д. п. в поле степенных рядов).

Наиболее старая ("простейшая") задача Д. п. приближения нуля линейной формой aх- у, где a>0 фиксированное действительное число, х, упеременные целые (линейные однородные Д. п.), т. е. задача о рациональных приближениях к а. Для специальных эта задача рассматривалась еще в древности (Архимед, Диофант, Евклид), а ее тесная связь с теорией цепных дробей была вполне выяснена Л. Эйлером (L. Euler) и Ж. Лагранжем (J. Lagrange). В частности, если х 1>0, y1 >0 таковы, что

где минимум берется по всем целым хв к.-л. интервале и по всем целым у, то дробь у 1/х 1 является подходящей дробью разложения aв цепную дробь. Если неполные частные разложения ав цепную дробь ограничены, то существует С=С (а)>0 с условием для всех целых x>0, y>0. Это верно, напр., для квадратичных иррациональностей a, так как тогда разложение в цепную дробь периодично. С другой стороны, при любом иррациональном а неравенство имеет бесконечное число целых решений x>0, y>0, а если то постоянную нельзя заменить меньшим числом. Исследование А. А. Маркова о минимумах неопределенных бинарных квадратичных форм позволило продолжить последнее утверждение: если а не эквивалентно (в смысле теории цепных дробей) (то неравенство х|aх- у|<2^-3/2 имеет бесконечное число решений; постоянная 2^-3/2 не может быть улучшена, если а эквивалентно если а не эквивалентно ни (ни то неравенство х|aх- у|<5 (221)^-1/2 имеет бесконечное число решений, и т. д. (см. [1]). Постоянные 5^-1/2, 2^-3/2,5(221)^-1/2, ... монотонно убывают и имеют предел ¹/3. Приближения нуля линейным неоднородным многочленом ax+y+b (a, b действительные числа, х, унеременные целые) простейший пример линейных неоднородных диофантовых приближений. П. Л. Чебышев доказал, что при любом иррациональном а и любом b неравенство x|ax+y+b|<2 имеет бесконечное число решений в целых x>0, у. Постоянная 2 здесь не является наилучшей: Г. Минковский (Н. Miukowski) доказал, что если ( а, bцелые), то 2 можно заменить на 1/4, что является наилучшей постоянной. Это утверждение есть следствие доказанного самим Г. Минковским простейшего случая гипотезы о произведении неоднородных линейных форм (см. Минковского гипотеза).

Более сложные задачи общей теории Д. п. касаются аппроксимирующих функций от большего числа целочисленных аргументов (см. Дирихле теорема, Минковского теорема, Кронекера теорема). Удобно ввести функцию где минимум берется по всем целым п(расстояние от aдо ближайшего целого). Напр., вместо рассмотренных выше линейных многочленов и можно брать и для целых x>0. Из теоремы Дирихле следует, что для любых действительных a1,..., an существует бесконечное число решений системы неравенств

в целых х>0. Единицу можно заменить меньшим числом (напр., n/(n+1)), но ни для какого наилучшая постоянная неизвестна. Она не может быть сколь угодно малым числом, как показывает пример 1, a1, . .., an, являющийся базисом действительного алгебраич. поля (см. [1]). Если 1, a1, ..., a п линейно независимы над полем рациональных чисел, то при любых b1, . . ., bn и любом e>0 существует бесконечное число решений системы неравенств

в целых x>0 (теорема Кронекера). Существенная особенность этой теоремы о совместных неоднородных Д. п. состоит в том, что в принципе невозможно (без специальной информации об однородных приближениях к a1, . .., a п). указать скорость убывания e при возрастании х:для того чтобы линейные формы "хорошо" аппроксимировали любые числа b1, . . ., bn, необходимо и достаточно, чтобы эти формы не могли "хорошо" аппроксимировать специальный набор чисел b1=0, . . ., bn=0. Различные на первый взгляд задачи Д. п. иногда оказываются тесно связанными. Напр., принцип переноса Хинчина (см. [1]) связывает разрешимость неравенства

в целых числах x1, ..., х п с разрешимостью системы в целых x>0, и обратно: если l1. и m1 соответственно точные верхние грани тех l>0 и m>0, для к-рых (1) и (2) имеют бесконечное число решений, то

В частности, равенства l1=0 n m1=0 равносильны (тогда a1, ...,an соответствуют "наихудшей" аппроксимации, так как (1) при l= 0 и (2) при m= 0 имеют бесконечное число решений какими бы ни были a1, ..., an). Подобные связи существуют между однородной и неоднородной задачами (см. [1], [5]) и не только в случае линейных Д. п. Если, напр., a1; . . .. an таковы, что при любом e>0 для всех целых x>0

где С 1>0 зависит только от а 1, ..., an и е, то каковы бы ни были действительные числа b1, . . ., bn, при любом e1>0 система неравенств

имеет целое решение хс условием если Х>Х 0(a1, ..., an, e1). Более того, неравенство (3) обеспечивает "сильную" равномерную распределенность дробных долей ({a1, q}, ... , {anq}), где q=1,2, . . ., Q;число этих дробей, попадающих в систему интервалов каждый из к-рых лежит внутри единичного интервала, равно -

длина интервала I, e2>0 произвольно. Выполнение неравенства (3) для всех целых x>0 равносильно выполнению неравенства

для всех целых при любом e3>0, где С 2>0 зависит только от a1, . . ., an и e3.

Доказательство разрешимости или неразрешимости диофантовых неравенств, параметры к-рых определены арифметич. или аналитич. условиями, часто является весьма сложной задачей. Так, задача о приближениях алгебраич. чисел рациональными, систематически изучаемая со времени доказательства неравенства Лиувилля (1844) (см. Лиувилля число), до сих пор не получила полного решения (см. Туэ Зигеля Рота теорема, Диофамтовых приближений проблемы эффективизации). Доказано [11], что для алгебраич. чисел a1,. . .,an, вместе с 1 линейно независимых над полем рациональных чисел, выполняются неравенства (3), (4) при любых e>0, e3>0. Из этого следует, что система неравенств (1) при любом l>0 и система неравенств (2) при любом m>0 имеют лишь конечное число решений. Существует тесная связь между подобными теоремами о Д. п. к алгебраич. числам и представлением целых чисел неполными разложимыми формами. В частности, задача о границах для решений х, у диофантова уравнения Туэ f(x,y)=A при фиксированной целочисленной неприводимой бинарной форме f(x, у )не менее чем 3-й степени и переменном целом Аравносильна изучению рациональных приближений к корню aмногочлена f(x,1). Таким путем А. Туэ (А. Thue) доказал конечность числа решений уравнения f(x, y) = A, предварительно получив нетривиальную оценку рациональных приближений к a. Этот подход, обобщенный и развитый К. Зигелем (С. Siegel), привел его к теореме о конечности числа целых точек на алгебраич. кривых рода больше нуля (см. Диофантова геометрия). В. Шмидт [11] использовал подобные идеи для полного решения задачи о представлении чисел разложимыми формами, основываясь на своих аппроксимационных теоремах. В нек-рых случаях связи между теорией Д. п. и теорией диофантовых уравнений не столь непосредственны, хотя законы аппроксимации чисел могут играть главную роль в доказательствах существования решении, асимптотики числа решений и т. п. (задачи типа Варима проблемы и метод Харди Литлвуда Виноградова).

Д. п. к специальным числам, заданным как значения трансцендентных функций в рациональных или алгебраич. точках, изучаются методами теории трансцендентных чисел. Как правило, доказательство иррациональности или трансцендентности к.-л. числа позволяет дать оценку аппроксимации его рациональными или алгебраич. числами. Для трансцендентного aвеличину wn(a, H)=min|Р(a)|, где минимум берется по всем ненулевым целочисленным многочленам степени не более пи высоты не более Н, наз. мерой трансцендентности числа a. Оценка снизу величины wn(a, H), главным образом при фиксированном пи переменном Н, составляет содержание многих теорем теории трансцендентных чисел (см. [12]). Напр., К. Малер ([7], [12]) доказал, что

где С 3>0 абсолютная постоянная, Н>Н 0 (п). Другим методом А. Бейкер [3] доказал (4) для различных не равных нулю рациональных степеней ес , где