Математическая энциклопедия - джекобсона радикал

кольца A идеал J(А)ассоциативного кольца А, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1) J(A) наибольший квазирегулярный идеал в А(кольцо Rназ. квазирегулярным, если для любого его элемента аразрешимо уравнение а+x + ах=0);2) в факторкольце нет квазирегулярных идеалов, кроме нулевого. Д. р. был введен и детально исследован Н. Джекобсоном (N. Jacobson) в 1945 (см. [1]).

Д. р. всегда существует и может быть охарактеризован весьма многими способами: J(А)есть пересечение ядер всех неприводимых представлений кольца А, пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов, пересечение всех модулярных максимальных левых идеалов; он содержит все квазирегулярные односторонние идеалы, все односторонние нильидеалы и т. д. Если Iидеал А, то J(I) = I ЗJ(А), если А пкольцо всех матриц порядка пнад А, то

Если на ассоциативном кольце Аввести композицию о:

то в полугруппе <A, радикал J(А)относительно композиции о будет подгруппой.

Над квазирегулярным (т. е. совпадающим со своим Д. р.) ассоциативным кольцом не существует ненулевых неприводимых конечно порожденных модулей; однако простые ассоциативные квазирегулярные кольца существуют. Для того чтобы в ассоциативном кольце АД. р. был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы Абыло подпрямой суммой примитивных колец.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961.

К. А. Жевлаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985