Математическая энциклопедия - дженкинса теорема

общая теорема о коэффициентах,теорема теории однолистных конформных отображений семейств областей на римановой поверхности, содержащая неравенство для коэффициентов отображающих функций, а также условия на функции, для к-рых это неравенство обращается в равенство. Д. т. является точным выражением и развитием (высказанного без доказательства) принципа Тейхмюллера (см. [1], с. 83), согласно к-рому решение нек-рого класса экстремальных проблем для однолистных функций определяется квадратичными дифференциалами соответствующего вида. Получена Дж. Дженкинсом (1954, см. [1] [4]).

Условия Д. т. Пусть конечная ориентированная риманова поверхность, Q(z)dz²положительный квадратичный дифференциал на имеющий хотя бы один полюс порядка и пусть Р 1,.. ., Р rвсе полюсы порядка 2, а Р r+1,. . ., Р рвсе полюсы порядка >2. Пусть открытое всюду плотное на множество D представляет собой дополнение к объединению конечного числа замыканий траекторий и замыканий дуг траекторий, причем /=1,..., р. Пусть

функция f0(P)отображает Д конформно и однолистно в и пусть существует гомотопия

отображения f0(P)в тождественное отображение f1(P)=Р, оставляющая неподвижными все полюсы из D и удовлетворяющая условию для каждого полюса и всякой точки Пусть zj=zj(P).такой локальный параметр для полюса Pj, что zj(Pj)=, j=1,..., р. Пусть, при j=1,..., рв окрестности полюса Pj,

где njцелая часть числа Пусть

и пусть d(Pj)=0 для всех j>r, для которых Pj лежит на границе полосообразной области относительно Q(z)dz². Пусть, наконец,

Утверждение Д. т. При этих условиях

где

Д. т. для случаяравенства. Если в (*) имеет место знак равенства, то: а) в каждой области Dl МD отображение f0 является изометрией в Q-метрике каждая траектория Q(z)dz² в D переходит в траекторию, и множество f0(D) всюду плотно R; б) для того чтобы f0 было тождественным отображением в нек-рой области достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих дополнительных условий:

1) в Dl имеется такой полюс Pj, j>r, порядка mj, что as^(j)=0 для s<min{nj+1, mj-3};

2) в Dl имеется полюс Pj, для к-рого и а ^(j)=1;

3) в Dl имеется точка траектории, оканчивающейся в простом полюсе.

Если в (*) имеет место равенство и если |a^(j)| неравно 1 при нек-ром то конформно эквивалентно сфере, a Q(z)dz² не имеет нулей и простых полюсов, и r=р = 2. Если, к тому же, D есть область, то отображение f0 конформно эквивалентно линейному преобразованию, неподвижными точками к-рого служат образы обоих полюсов.

Экстремальной метрики метод, лежащий в основе доказательства Д. т., был с надлежащими модификациями использован Дж. Дженкинсом также для получения ряда других результатов, в частности так наз. специальной теоремы о коэффициентах (см. [4]). Дополнение и развитие Д. т. см. в [5].

Лит.:[1] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Jеnkins J. A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1960, v. 95, № 3, p. 387407; [3] его же, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1962, v. 68, Ni 1,p. 1-9; [4] его же, "111, J. Math.", 1964, v.8, №, p. 8099; [5] Tамразов П. М., "Матем. сб.", 1967, т. 72, № 1, с. 59-71.

П. М. Тамрпзов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985