Математическая энциклопедия - эндоморфизмов полугруппа

полугруппа, состоящая из эндоморфизмов нек-рого объекта (множества X, наделенного какой-либо структурой с операцией умножения (последовательного применения выполнения преобразований). Объектом Xмогут быть векторное пространство, топологич. пространство, алгебраич. система, граф и т. д.; он рассматривается обычно как объект нек-рой категории, причем, как правило, морфизмами в этой категории являются отображения, сохраняющие отношения структуры (линейные преобразования, непрерывные преобразования, гомоморфизмы и т. п.). Множество End Xвсех эндоморфизмов объекта X(т. е. морфизмов на свои подобъекты) является подполугруппой полугруппы Т X всех преобразований множества X(см. Преобразований полугруппа).

Полугруппа End X может нести в себе значительную информацию о структуре Напр., если X, Y - векторные пространства размерности над телами Fи Нсоответственно, то из изоморфизма полугрупп End Xи End Yих эндоморфизмов (т. е. линейных преобразований) вытекает изоморфизм пространств Xи Y (и в частности, изоморфизм тел Fи Н). Нек-рые предупорядоченные множества и решетки, всякое булево кольцо и нек-рые другие алгебраич. системы определяются своими Э. п. с точностью до изоморфизма. Этот же результат справедлив и для нек-рых модулей и полугрупп преобразований. Аналогичную информацию об объекте . несут в себе и нек-рые собственные подполугруппы полугруппы End . (напр., полугруппы гомеоморфных преобразований топологич. пространства).

Нек-рые классы объектов X(напр., графы, топологич. пространства) могут быть таким же образом охарактеризованы своими полугруппами частичных эндоморфизмов, т. е. частичных преобразований множества X, являющихся морфизмами их подобъектов.

Лит.:[1] Глускин Л. М., в кн.: Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 2, Л., 1964, г. 3-9: [2] 3ыков А. А., Теория конечных графов, Новосиб., 1969; [3] Мagill К. D., лSemigroup Forum

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985