Математическая энциклопедия - эндоморфизмов кольцо

ассоциативное кольцо End А=Ноm(A, А), состоящее из всех морфизмов . в себя, где А - объект нек-рой аддитивной категории С. Умножение в End Асовпадает с композицией морфизмов, а сложение со сложением морфизмов, определенным аксиомами аддитивной категории. Тождественный морфизм 1A является единицей кольца End A. Элемент из End Аобратим тогда и только тогда, когда автоморфизм объекта А. Если Aи Внек-рые объекты категории С, то группа Ноm ( А, В )обладает естественной структурой правого модуля над кольцом End Аи левого модуля над кольцом End В. Пусть ковариантный (соответственно контравариантный) аддитивный функтор из аддитивной категории Св аддитивную категорию С'. Тогда для любого объекта Аиз С функтор Тиндуцирует естественный гомоморфизм (соответственно естественный антигомоморфизм) End

Пусть С - категория модулей над кольцом R. Для R-модуля Акольцо End Асостоит из всех эндоморфизмов абелевой группы А, перестановочных с умножением на элементы из R. Сумма эндоморфизмов определяется формулой

Если R - коммутативно, то кольцо End Аобладает естественной структурой R-алгобры. Многие свойства модуля Амогут быть охарактеризованы в терминах кольца End А. Напр., модуль Анеприводим тогда и только тогда, когда End Аявляется телом.

Произвольный гомоморфизм p ассоциативного кольца Кв End Аназ. представлением кольца . (эндоморфизмами объекта А). Если К - кольцо с единицей, то накладывается дополнительное условие Любое ассоциативное кольцо Кобладает точным представлением в Э. к. нек-рой абелевой группы А. Причем, если К - кольцо с единицей, то в качестве Аможно взять аддитивную группу кольца К, на к-рую элементы из K действуют умножением слева. Если же К - кольцо без единицы и K'кольцо, полученное из Квнешним присоединением единицы к К, то в качестве Аможно взять аддитивную группу кольца K'.

В случае абелева многообразия Xнаряду с кольцом End A , являющимся конечно порожденным -модулем, рассматривают алгебру эндоморфизмов (алгебру комплексных умножений)

Лит.:[1] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1-2, пер. с англ., М., 1977-79; [2] Мaмфорд Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 21, М., 1983, с. 183-254.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985