Математическая энциклопедия - этальный морфизм

гладкий морфизм алгебраич. многообразий или схем относительной размерности 0. Эквивалентным образом можно определить Э. м. схем как локально конечно представленный плоский морфизм такой, что для любой точки k(y)-cxeмa конечна и сепарабельна. Э. м. обладает свойством подъема инфинитезимальных деформаций: если Э. м., Y' аффинная Y-схема и Y'0 замкнутая подсхема в Y', задаваемая нильпотентным пучком идеалов, то естественное отображение биективно. Указанное свойство характеризует Э. м. Наконец, Э. м. можно определить как плоский неразветвленный морфизм. (Локально конечно представленный морфизм неразветвлен, если диагональное вложение является локальным изоморфизмом.)

Этальность (как и гладкость и неразветвленность) сохраняется при композиции морфизмов и при замене базы. Открытое вложение является Э. м. Любой морфизм между этальными Y-схемами этальный. Для гладких многообразий этальность означает, что f индуцирует изоморфизм касательных пространств. Локально Э. м. задается многочленом с ненулевой производной.

Э. м. играют важную роль в теории этальных когомологий, при определении фундаментальной группы схемы, алгебраического пространства и гензелева кольца.

Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometric algebrique, N. Y., 1971; [2] Revetements etales et groupe fondamental, В.-[e. a.], 1971.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985