Математическая энциклопедия - этальная топология

наиболее важный пример топологии Гротендика (см. Тополoгизированная категория), позволяющий дать определение когомологич. и гомотопич. инвариантов для абстрактных алгебраич. многообразий и схем. Пусть X - схема. Э. т. на Xназ. категория Xet этальных Х-схем, объектами к-рой служат этальные морфизмы а морфизмами морфизмы X-схем. Конечные семейства такие, что объявляются покрытиями, и тем самым в Х еt вводится топология.

Предпучком множеств (групп, абелевых групп и т. д.) на Xet наз. контравариантный функтор Fиз категории Х et в категорию множеств (групп и т. д.). Предпучок наз. пучком, если для любого покрытия сечение определяется своим ограничением на Ui и для всякого согласованного набора сечений существует единственное сечение такое, что На этальные пучки на X(т. е. пучки на категории Xet) переносятся многие стандартные понятия пучков теории. Напр., если -морфизм схем, а -этальный пучок на X, то, полагая для

получают так наз. прямой образ пучка при морфизме f. Сопряженный слева к f* функтор f^* наз. функтором обратного образа. В частности, слоем пучка в геометрической точки (где К - алгебраически замкнутое поле) наз. множество

Важным примером пучка на Xet является пучок представимый нек-рой Х-схемой Z;для него Если Z - конечная и этальная Х-схема, то пучок наз. локально постоянным. Пучок наз. конструктивны м, если существует конечное разбиение схемы Xна локально замкнутые подсхемы X;такое, что ограничение F | Xi локально постоянно на каждом Xi.

См. также Этальные когомологии и Гомотопический тип топологизированной категории.

Лит.: [1] Манин Ю. И., лУспехи матем. паук

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985