Математическая энциклопедия - этальные когомологии

когомологии пучков в эталъной топологии. Они определяются стандартным образом при помощи производных функторов. А именно, пусть X - схема и Xet -этальная топология на X. Тогда категория пучков абелевых групп на Xet является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных объектов. Функтор Г глобальных сечений точен слева, и его производные функторы (где -пучок абелевых групп на Xet) наз. функторами когомологий. При этом Аналогично определяются высшие прямые образы пучка относительно морфизма для них имеет место аналог Лере спектральной последовательности. Если -пучок неабелевых групп, удается определить множество (см. Нсабелевы когомологии).

Наиболее важные результаты в теории Э. к. получены для конструктивных этальных пучков абелевых групп. Центральный из них теорема конечности и замены базы: пусть -собственный морфизм, и -конструктивный пучок на X. Тогда пучки конструктивны, и слой в геометрич. точке изоморфен группе когомологии слоя Аналогичные теоремы верны для любого морфизма конечного типа, если использовать когомологии с компактными носителями.

Если X - алгебраич. многообразие над алгебраически замкнутым полем, то для любого конструктивного пучка на . когомологии с компактными носителями конечны и равны 0 при q > 2dim X. Если к тому же X - аффинное многообразие, то для q>dim X.

Для многообразий над полем комплексных чисел Э. к. конструктивных пучков совпадают с классич. когомологиями со значениями в этих пучках. Справедлива теорема о специализации для гладкого морфизма: пусть гладкий собственный морфизм схем, и целое число побратимо на Y; тогда пучки локально постоянны на Y.

Для Э. к. имеют место аналог двойственности Пуанкаре (см. Двойственность в алгебраической геометрии) и Кюннета формулы. Каждый алгебраич. цикл коразмерности iдает класс когомологий в размерности 2i, что позволяет построить теорию Чжэня классов.

Э. к. конструктивных пучков используются для построения l-адических когомологий и доказательства гипотез Вейля о дзета-функции.

Лит.:[1] Гротендик А., в кн.: Международный математический конгресс в Эдинбурге. Сб. докладов, М., 1962, с. 116 37; [2] Мили Дж., Этальные когомологии, пер. с англ., М., 1983; [3] Cohomologie etale, В.-[е. а.], 1977; [4] Cohomologie l'-adique et fonctions, В.[е. а.], 1977; [5] Theorie des topos et Cohomologie etale des schemes, t. 1-3, B.[e. a], 1972-73.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985