Математическая энциклопедия - евклидово кольцо

область целостности с единицей такая, что всякому ее элементу а, отличному от нуля, поставлено в соответствие неотрицательное целое число (а), причем выполняется следующее требование: для любых двух элементов а, b, если b неравно 0, можно так подобрать элементы qи r, что

причем или r=0, или n(r)<n(b).

Всякое Е. к. является главных идеалов кольцом и, следовательно, факториалъным кольцом, однако, существуют кольца главных идеалов, не являющиеся евклидовыми. К числу Е. к. принадлежат кольцо целых чисел (роль (а)в нем играет абсолютная величина | а|), а также кольцо многочленов от одного переменного над полем (п(а)степень многочлена). Во всяком Е. к. для разыскания наибольшего общего делителя двух элементов можно применять Евклида алгоритм.

Лит.:[1] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.

О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985