Математическая энциклопедия - факториальное кольцо

кольцо с однозначным разложением на множители. Точнее, Ф. к. Аэто область целостности, в к-рой можно выбрать систему экстремальных элементов . такую, что любой ненулевой элемент допускает единственное представление вида

где иобратим, а целые неотрицательные показатели (р)отличны от нуля только для конечного числа элементов При этом элемент наз. экстремальным в А, если из p=uv следует, что либо и, либо vобратим в А, и р необратим в А.

В Ф. к. существует наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное любых двух элементов. Кольцо Афакториально тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля и выполняется одно из следующих эквивалентных условий: (1) любой диви-зориальный идеал в . является главным; (2) любой простой идеал высоты 1 главный; (3) любое непустое семейство главных идеалов обладает максимальным элементом, н пересечение любых двух главных идеалов является главным идеалом. Любое кольцо главных идеалов факторнально. Дедекиндово кольцо факториально, только если оно кольцо главных идеалов. Если S - мультипликативная система в Ф. к. А, то кольцо частных S^-1Aфакториально. Для кольца Зариского Rиз факториальности его пополнения Rследует факториальность самого R.

Подкольцо и факторкольцо Ф. к. не обязаны быть Ф. к. Кольцо многочленов над Ф. к. и кольцо формальных степенных рядов над полем или дискретно нормированным кольцом факториально. Однако кольцо формальных степенных рядов над Ф. к. не обязано быть факториальным.

Область целостности факториальна тогда и только тогда, когда ее мультипликативная полугруппа гауссова (см. Гауссова полугруппа), в связи с этим Ф. к, наз, также гауссовыми кольцами.

Лит.: [1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985