Математическая энциклопедия - фока пространство

фоковское пространство,в простейшем и чаще всего употребляемом случае гильбертово пространство, состоящее из бесконечных последовательностей вида

где

или

причем

или означает гильбертово пространство симметрия, (соответственно антисимметрич.) функций от пнеременных n = 2, 3, .... Скалярное произведение двух последовательностей . и . вида (1) равно

В случае когда последовательности . состоят из симметрич. функции, говорят осимметрическом (или бозонном) Ф. и., а в случае последовательностей антисимметрич. функций Ф. п. наз. антисимметрическим (или фермнонным). В таком простейшем случае Ф. и. были впервые введены В. А. Фоком [1].

В общем случае произвольного гильбертова пространства H Ф. п. Г ^S (H) (или Г ^а (H)), построенным над H, наз. симметризованную (или антисимметризованную) тензорную экспоненту пространства Н, т. е. пространства

где знак означает прямую ортогональную сумму гильбертовых пространств, а п>1,симметрнзованную при или антиспмметризованную п- ютензорную степень пространства H. В случае определение (2) эквивалентно определению Ф. п., приведенному в начале статьи, если отождествить пространства и так, что тензорному произведению последовательности функций

соответствует функция

где суммирование происходит по всем перестановкам индексов 1, 2, .... п, - четность перестановки а знак +1 пли 1 в выражении (3) соответствует симметрия, или антисимметрич. случаю.

В квантовой механике Ф. п. Г ^S(H) или Г ^а(H) служат пространствами состояний квантовомеханич. системы, состоящей из произвольного (но конечного) числа одинаковых частиц таких, что пространством состоянии каждой отдельной частицы является пространство Н. При этом в зависимости от того, каким из Ф. п. симметрическим Г ^s (H) или антнсимметрическим описывается эта система сами частицы наз. бозонами или соответственно фермионами. Для любого n=1,2,... подпространство наз. n-частичным подпространством: его векторы описывают те состояния, в к-рых имеется ровно пчастиц; единичный вектор (в записи (1): = {1,0,0,...,0,...}), наз. вакуумным вектором, описывает состояние системы, в к-ром нет ни одной частицы.

При изучении линейных операторов, действующих н Ф. п. Г ^S(H) и Г ^a(H), часто применяется специальный формализм, наз. методом вторичного квантования. Он основан на введении в каждом из пространств двух семейств линейных операторов: т. н. операторов уничтожения и семейства сопряженных к ним операторов наз. операторами рождения. Операторы уничтожения задаются как замыкания операторов, действующих на векторы

где симметрированные (при пли антисимметризованные тензорные произведения последовательностей векторов по формулам

где и Операторы же рождения действуют на векторы (3) по формулам

При этом для любого т.