Математическая энциклопедия - фокус

тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

G - область единственности, в окрестности особой точки х 0. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х 0 такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт а положительные полутраектории, не выходя из U, примыкают к точке х 0. наматываясь на нее наподобие логарифмич. спиралей, или наоборот. Ф. наз. при этом и сама точка х 0. Характер приближения траекторий системы к Ф. х 0 можно описать точнее, если ввести на плоскости (х 1, х2) полярные координаты с полюсом в х 0. Тогда для любой примыкающей к Ф. х 0 полутраектории полярный угол переменной точки (левый Ф.) или (правый Ф.) при

Ф. либо асимптотически устойчив по Ляпунову, либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при t-> Его индекс Пуанкаре равен 1. На рис. изображен правый неустойчивый Ф. х 0.(0, 0).

Для системы (*) класса С ¹ точка покоя х 0 является Ф. в случае, когда матрица A=f' (х 0) имеет комплексно сопряженные собственные значения с отличной от нуля действительной частью, но может быть Ф. и в тех случаях, когда эта матрица имеет чисто мнимые или кратные действительные собственные значения (см. также Центр, Центра и фокуса проблема).

Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального уравнения.

А. Ф. Андреев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985