Математическая энциклопедия - гензеля лемма

утверждение, полученное К. Гензелем [1] при создании теории р-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре.

Говорят, что для локального кольца А с максимальным идеалом m выполняется лемма Гензеля, если для любого унитарного многочлена и разложения его редукции по модулю в произведение двух взаимно простых многочленов

существуют такие многочлены

что

(здесь черта обозначает образ при редукции ). В частности, для любого простого корня редуцированного многочлена существует решение уравнения , удовлетворяющее условию Г. л. выполняется, напр., для полного локального кольца. Г. л. позволяет сводить решение алгебраич. уравнения над полным локальным кольцом к решению соответствующего уравнения над его полем вычетов. Так в кольце -адических чисел из Г. л. следует разрешимость уравнения , так как это уравнение имеет два простых корня в поле .из семи элементов. Локальное кольцо, для к-рого выполняется Г. л., наз. гензелевым кольцом.

По поводу Г. л. в некоммутативном случае см. [3].

Лит.:[1] Неnsе1 К., "J. reine und angew. Мath.", 1904, Bd 27, S. 51-84; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [a] Zassenhaus H., "Arch. Math.", 1954, Bd 5, № 4-6, S. 317-25. В.