Математическая энциклопедия - гротендика группа

аддитивной категории абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С - малая аддитивная категория и G абелева группа. Отображение наз. аддитивным, если для любой точной последовательности объектов из Свыполняется . Существует группа , наз. Г. г., и такое аддитивное отображение , наз. универсальным отображением, что для любого аддитивного отображения существует единственный гомоморфизм удовлетворяющий условию

Впервые эта конструкция была рассмотрена А. Гро-тендиком (A. Grothendieck) для категорий когерентных и локально свободных пучков на схемах при доказательстве теоремы Римана-Роха. См. К-функтор в алгебраич. геометрии. Группа определена однозначно с точностью до изоморфизма и может быть задана образующими каждому объекту соответствует образующая [L] - и соотношениями для всякой точной последовательности

Частным случаем этого понятия является Г. г. коммутативного моноида М(который можно рассматривать как категорию). Тогда универсальное отображение kявляется гомоморфизмом Мв группу К(М), аесли в Мвыполняется закон сокращения, то k - инъективный гомоморфизм.

Если топологич. пространство, то Г. г. аддитивной категории векторных расслоений над Xявляется инвариантом пространства, изучаемым в К-теории. Если С - категория невырожденных симметрических билинейных форм на векторных пространствах над полем k, то К(С).есть группа Витта Гротендика над k(см. Витта кольцо).

Лит.:[1] Swan R., "Topology", 1963, v. 2, p. 85-110; [2] Борель А., Серр Ж.-П., "Математика", 1961, т. 5, № 5, с. 17--54; [3] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [4] Bass H., Topics to algebraic K-theory, Bombay, 1966; [5] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985