Математическая энциклопедия - инерции закон

квадратичных форм теорема, утверждающая, что при любом способе приведения квадратичной формы

с действительными коэффициентами к сумме квадратов

посредством линейной замены переменных

где Qневырожденная матрица с действительными коэффициентами, число р(соответственно га) таких индексов i, что bi>0 (соответственно bi<0), остается неизменным. В этой классич. форме И. з. установлен Дж. Дж. Сильвестром (J. J. Sylvester). Это утверждение иногда называют также теоремой Сильвестра.

В современной форме И. з.это следующее утверждение о свойствах симметрических билинейных форм над упорядоченными полями. Пусть Еконечномерное векторное пространство над упорядоченным полем k, снабженное невырожденной симметрия, билинейной формой f. Тогда существует такое целое число что для любого ортогонального относительно f базиса е 1, ..., es в Есреди s элементов

имеется в точности рположительных и в точности п=s -ротрицательных. Пара ( р, п )наз. сигнатурой билинейной формы f, а число пее индексом инерции. Две эквивалентные формы имеют одинаковую сигнатуру. Если kевклидово поле, то равенство сигнатур является достаточным условием для эквивалентности билинейных форм. Если индекс инерции n=0, форма наз. положительно определенной, а при р=0 отрицательно определенной. Эти случаи характеризуются тем, что f(x, х)>0 (соответственно f(x, x)<0 )для любого ненулевого вектора Из И. з. вытекает, что Еесть ортогональная относительно f прямая сумма подпространств

таких, что сушение f на Е + является положительно определенной, а сужение f на Е - отрицательно определенной билинейной формой и

(так что размерности пространств Е + и Е - не зависят от способа разложения).

Иногда сигнатурой формы f наз. разность

Если формы f и gопределяют один и тот же элемент кольца Витта W(k)поля k,то s(f)=s(g). Более того, = s(f1)+s(f2), =s(f1)s(f2) для любых невырожденных форм f1 и f2, и s(<1>)=1, так что отображение определяет гомоморфизм кольца W(k)в кольцо целых чисел Z. Если k евклидово поле, то этот гомоморфизм является изоморфизмом.

И. з. обобщается на случай эрмитовой билинейной формы над максимальным упорядоченным полем k, над квадратичным расширением кили над телом кватернионов над k(см. [1], [4]).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [4] Мilnоr J., Husemoller D., Symmetric bilinear forms, В.-Hdlb.-N.Y., 1973. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985