Математическая энциклопедия - иррегулярное простое число

простое нечетное число р, для к-рого число классов идеалов кругового поля R( е ^2pi/р). делится на р. Все остальные простые нечетные числа наз. регулярными.

Признак Куммера позволяет для каждого данного простого числа решить вопрос о том, будет ли оно регулярным или нет: для того чтобы нечетное простое число рбыло регулярным, необходимо и достаточно, чтобы ни один из числителей первых Бернулли чисел В 2, В 4, .. ., В р-3 не делился на р(см. [1]).

В связи с этим результатом возник вопрос о распределении регулярных и иррегулярных чисел. Таблицы бернуллиевых чисел и признак Куммера показывают, что в пределах первой сотни только три простых числа: 37,59 и 67 иррегулярны (числители В 32, В44. и B58 - кратны соответственно 37, 59 и 67). Э. Куммер предположил, что регулярных чисел в среднем в два раза больше, чем иррегулярных. Позднее К. Зигель [2] выдвинул предположение, состоявшее в том, что отношение числа И. п. ч. к числу регулярных простых чисел, содержащихся в промежутке (1, х), при стремится к пределу где еоснование натуральных логарифмов. К настоящему времени (1978) известно только, что число И. п. ч. бесконечно и что среди нечетных простых чисел, меньших 5500, имеется 439 регулярных и 285 И. п. ч. [3].

Для всякого регулярного руравнение Ферма

не имеет ненулевых решений в рациональных числах [1].

Пусть р - некоторое И. п. ч., 2a1; ..., 2aS -индексы бернуллиевых чисел из В 2, В4, ..., В р-3, числители к-рых делятся на р, а kи tнатуральные числа такие, что q=1+рk -простое, меньшее р(р-1) и (mod д). И пусть

Если для каждого a=ai, i=i, 2, ..., s,

то для иррегулярного простого рсправедлива теорема Ферма, т. е. уравнение Ферма неразрешимо в рациональных числах, отличных от 0. Этот признак наз. признаком Вандивера. С помощью этого признака установлена справедливость теоремы Ферма для всех показателей, меньших 5500 (см. [4]).

Лит.:[1] Кummеr Е. Е., "J. reine und angew. Math.", 1850, Bd 40, S. 130-38; [2] Siegel G. Z., "Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kl.", 1904, S. 51-57; [3] Боpeвич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [4] Van diver H. S., "Proc. Nat. Acad.", 1954, V. 40, № 8, p. 732-35.

В. А. Демьяненко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985