Математическая энциклопедия - иррегулярная граничная точка

точка у 0 границы Г области D, для к-рой существует такая непрерывная граничная функция f(y)на Г, что обобщенное решение Дирихле задачи в смысле Винера Перрона (см. Перрона метод) и (х)не принимает в точке у 0 граничного значения f(y0), т. е. либо предел

не существует, либо не совпадает с f(y0). Для плоских областей DИ. г. т. является всякая изолированная точка границы Г. В случае области Dв евклидовом пространстве Rⁿ, А. Лебег (Н. Lebesgue, 1912) впервые обнаружил, что И. г. т. может быть вершина весьма заостренного входящего в Dострия. Напр.,

И. г. т. является начало координат если в его окрестности граница области имеет вид входящего острия, получаемого вращением кривой у=е ^-1/x , х>0, вокруг положительной полуоси Ох (острие Лебега). Обобщенное решение задачи Дирихле не принимает в И. г. т. граничного значения f(y0). в том случае, если f(y0 )является верхней или нижней гранью значений f(y)на Г; при этом классическое решение не существует. Множество И. г. т. в определенном смысле разреженное, оно имеет тип Fa, является полярным множеством и имеет нулевую емкость. См. также Барьер, Регулярная граничная точка.

Лит.:[1] Ландкоф Н. С, Основы современной теории потенциала, М., 1966; [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985