Математическая энциклопедия - кервера инвариант

инвариант почти параллелизуемого гладкого многообразия Мразмерности 4k-2, определяемый как arf-инвариант квадратичной формы по модулю 2, возникающий на решетке (2k+1)-мерных гомологии многообразия М.

Пусть Модносвязное почти параллелизуемое замкнутое гладкое многообразие размерности 4k+2, гомологич. группы Н i (М; Z )к-рого при 0<i<4k+2, кроме V=H2k+1(M; Z), равны нулю.

На свободной абелевой группе Vимеется кососимметрическая форма пересечения циклов Ф( х, у), Ф : и размерность целочисленной решетки Vравна 2т. На группе V существует функция Ф 0 : определяемая следующим образом: если то существует гладкое вложение сферы S^2k+l в М, реализующее данный элемент х,. Трубчатая окрестность этой сферы S^2k+1 в Мпараллелизуема, она может быть либо тривиальной, либо изоморфной трубчатой окрестности диагонали в произведении S^2k+1S^2k+1. При этом трубчатая окрестность диагонали в S^{2k + 1} X S^2k+1 тогда и только тогда нетривиальна, когда 2k+11, 3, 7 (см. Хопфа инвариант). Значение функции Ф 0 равно нулю или единице в зависимости от тривиальности или нетривиальности трубчатой окрестности сферы S^2k+1, реализующей элемент хв М,2k+11, 3, 7. Так определенная функция Ф 0 : удовлетворяет свойству

arf-инвариант для функции Ф 0 и наз. инвариантом Кервера многообразия M^4k+²,

Если К, и. многообразия M^{4k + 2} равен нулю, то существует симплектич. базис (ei, fi) для Vтакой, что Ф 0(ei)=Ф 0(fi)=0. В этом случае многообразие M^4k+2 есть связная сумма произведения сфер

Если же К. и. многообразия M^4k+2 не равен нулю, то существует симплектич. базис (ei, fi) для Vтакой, что Ф 0(ei) = Ф 0(fi) = 0 для и Ф 0(e1) = Ф 0(f1)=1. В этом случае объединение трубчатых окрестностей двух (2k+1)-мерных сфер, вложенных в M^4k+2 с трансверсальным пересечением в одной точке и реализующих элементы e1, f1, дает нек-рое многообразие K^4k+2, наз. многообразием Кервера (см. Древовидное многообразие);его край дK^{4k + 2} диффеоморфен стандартной сфере, а само многообразие M^4k+2 представляет собой связную сумму

где гладкое замкнутое многообразие получено из K^4k+2 добавлением клетки.

Если M^4k+2,.1, 3, есть гладкое параллелизуемое (2k)-связное многообразие с краем, к-рый является гомотопич. сферой, то точно так же определен К. и. многообразия M^4k+2 с теми же свойствами, что и выше, с той разницей, что в разложении M^4k+2 в связную сумму простейших многообразий слагаемое являющееся многообразием Кервера, будет иметь край dK^4k+2=dM^4k+2 (вообще говоря, не диффеоморфный стандартной сфере).

В случае k = 0, 1, 3 исходные многообразия М ², M⁶, М ¹⁴ представляют собой связную сумму (S^2k+1 XS^2k+1)(S^2k+1XS^2k+1) (если край пуст), или (S^2k+1S^2k+1)o{S^2k+1S^2k+1)1(S^2k+1XS^2k+1)m-1, (если край непуст), где (S^2k+1XS^2k+1)0 получено выкидыванием открытой клетки из многообразия S^2k+1S^2k+1.

Однако К. и. для замкнутых многообразий М ², M⁶, М ^и может быть все же определен (см. Понтрягина инвариант, Кервера Милнора инвариант )и зависит в этих размерностях от выбора оснащения, т. е. является инвариантом оснащенных перестроек пары (M^4k+2, fr),k = 0,1, 3. В размерностях многообразие M^{ik + 2} тогда и только тогда перестраивается до сферы S^4k+2, когда пара (M^4k+2, fr). оснащенно перестраивается до пары (S^4k+2, fr) при любом выборе оснащения fr на исходном многообразии M^4k+2 (см. Перестройка на многообразии).

К. и. определен для любого стабильно параллелизуемого многообразия M^4k+2 как инвариант оснащенных перестроек и любой элемент в стабильных гомотопич. группах сфер может быть представлен либо гомотопич. сферой с оснащением, либо замкнутым гладким многообразием Кервера с оснащением (в этом случае m=4k+2, 1, 3), либо многообразием S^2k+1S^2k+1 с оснащением, если k = 0,1, 3.

Иначе говоря, К. и. можно рассматривать как препятствие к тому, чтобы заданное оснащение на многообразии "перенести" на сферу той же размерности, В этом смысле К. и. для значений k=0, 1, 3 выполняет ту же роль: заданное оснащение на многообразии s^2k+1S^2k+1, k=0, 1, 3, вообще говоря, не всегда может быть "перенесено" на сферу S^4k+2, k=0, 1, 3, с помощью оснащенных перестроек.